Auerbachbasis

Eine Auerbachbasis ist eine linear unabhängige Teilmenge eines normierten Vektorraums mit speziellen Eigenschaften.

DefinitionBearbeiten

Sei   ein normierter Vektorraum. Eine Menge   heißt Auerbachbasis von X, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  • Die lineare Hülle der Menge   liegt dicht in  .
  • Für jedes   gilt  , wobei   der Abschluss der linearen Hülle der Menge   sein soll.
  • Die Menge   ist linear unabhängig. (Diese Bedingung folgt aus der vorigen; es muss sogar für alle   die Beziehung   gelten.)

Eine Auerbachbasis   heißt normierte Auerbachbasis, wenn alle Vektoren der Menge   die Norm 1 haben.

Motivation und GeschichteBearbeiten

In jedem endlichdimensionalen Hilbertraum gilt die Gleichung

 

genau dann, wenn der Vektor   auf den durch   erzeugten Teilraum normal steht. In diesem Sinn ist der Begriff der normierten Auerbachbasis eine Verallgemeinerung des Begriffs der Orthonormalbasis.

Dieser Begriff wurde in der Dissertation von Herman Auerbach definiert. Die Dissertation selbst, die im Jahr 1929 geschrieben wurde, gilt als verschollen. Sie wird aber in einer Monographie von Stefan Banach aus dem Jahr 1932 erwähnt.

Äquivalente DefinitionenBearbeiten

In einen Banachraum X ist eine Menge A von Vektoren genau dann eine normierte Auerbachbasis, wenn die folgenden Bedingungen gelten:

  1.  .
  2. Für jedes   gilt  
  3. Für jedes   gilt die Normierungsbedingung  
  4. Es gibt eine Menge   von stetigen linearen Funktionalen auf   (also eine Teilmenge des topologischen Dualraums) mit den Eigenschaften
    •   für alle  . Dabei ist   das Kronecker-Delta.
    •   für alle  .

Zum Beweis verwendet man den Satz von Hahn-Banach.

Für Vektorräume mit endlicher Dimension bedeuten die Bedingungen 1+2 einfach, dass A eine Basis ist. In endlichdimensionalen normierten Vektorräumen sagt das Lemma von Auerbach, dass es immer eine Auerbachbasis gibt.

LiteraturBearbeiten

  • Herman Auerbach: O polu krzywych wypukłych o średnicach sprzężonych (Über Flächen von konvexen Kurven mit konjugierten Durchmessern), Dissertation an der Universität Lwów (1929; auf polnisch).
  • Stefan Banach: Théorie des opérations linéaires. Monografie matematyczne, herausgegeben von M. Garasiński, Warschau 1932.
  • Bartoszyński et al.: On bases in Banach spaces. Studia Math. 170 (2005), no. 2, 147--171.
  • Dirk Werner: Funktionalanalysis. 5. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg/New York 2005, ISBN 3540213813