Asymptotische Dichte

Die asymptotische Dichte ist ein zahlentheoretischer Grenzwert, der den Anteil einer Untermenge natürlicher Zahlen an der Menge natürlicher Zahlen angibt.

Einfache DefinitionBearbeiten

Man nennt den Grenzwert

 

die asymptotische Dichte   einer Untermenge  . Dabei ist   die Zählfunktion von  . Diese gibt an, wie viele Elemente aus   nicht größer als   sind. Es gilt  .

Obere und untere asymptotische DichteBearbeiten

Für ein beliebiges   sei   und  .

Die obere asymptotische Dichte   von   ist dann durch

 

definiert, wobei lim sup der Limes superior ist. Ebenso ist   die durch

 

definierte untere asymptotische Dichte von  .   hat nur dann eine asymptotische Dichte  , wenn   gilt. In diesem Fall existiert der Grenzwert

 

und daher kann durch ihn   definiert werden.

BeispieleBearbeiten

  • Wenn   für die Menge   existiert, dann gilt für die bezüglich   komplementäre Menge  :  
  •  
  • Für eine beliebige endliche Menge   natürlicher Zahlen gilt:  
  • Für die Menge   aller Quadratzahlen gilt:  
  • Für die Menge   aller geraden Zahlen gilt:  
  • Allgemeiner gilt für jede arithmetische Folge   mit positivem  :  
  • Für die Menge   aller Primzahlen erhält man aufgrund des Primzahlsatzes:  
  • Die Menge aller quadratfreien natürlichen Zahlen hat die Dichte   mit der Riemannschen Zetafunktion  .
  • Die Dichte abundanter Zahlen liegt zwischen 0,2474 und 0,2480.
  • Die Menge   aller Zahlen, deren Binärdarstellung eine ungerade Anzahl an Stellen hat, ist ein Beispiel für eine Menge ohne asymptotische Dichte. Für die untere und obere asymptotische Dichte gilt in diesem Fall:
 
 

QuellenBearbeiten

  • Melvyn B. Nathanson: Elementary methods in number theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 195). Springer, New York 2000, ISBN 0-387-98912-9 (englisch, zbmath.org).
  • Hans-Heinrich Ostmann: Additive Zahlentheorie (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 7). Erster Teil: Allgemeine Untersuchungen. Springer-Verlag, Berlin / Göttingen / Heidelberg 1956, ISBN 978-3-662-11030-0 (books.google.de – Leseprobe).
  • Jörn Steuding: Probabilistic number theory. (PDF) In: psu.edu. citeseerx.ist.psu.edu, abgerufen am 7. Februar 2016.
  • Gérald Tenenbaum: Introduction to analytic and probabilistic number theory (= Cambridge studies in advanced mathematics. Band 46). Cambridge university press, Cambridge 1995, ISBN 0-521-41261-7 (französisch, zbmath.org).