Der Approximationssatz von Lück ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der algebraischen Topologie. Er setzt die L2-Betti-Zahlen eines Raumes in Beziehung zu den üblichen Betti-Zahlen seiner endlichen Überlagerungen .

Aussage des Satzes

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Sei   ein endlicher CW-Komplex mit residuell endlicher Fundamentalgruppe  . Wegen der residuellen Endlichkeit gibt es eine absteigende Kette von Normalteilern mit   und  . Sei   die Überlagerung von   mit Deckgruppe  . Dann ist

 

Sei insbesondere   eine endlich präsentierte, residuell endliche Gruppe und   eine absteigende Kette von Normalteilern mit   und  , dann ist

 

Der Approximationssatz gilt auch für Homologie mit Koeffizienten in einem beliebigen Körper der Charakteristik Null.

Verallgemeinerung für Gitter in symmetrischen Räumen

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Sei   ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ und   eine gleichmäßig diskrete Folge von kokompakten Gittern in  , für die   gegen   Benjamini-Schramm-konvergiert. Dann ist

 

mit

  für  

und

 

für den zu   dualen kompakten symmetrischen Raum.[1]

Literatur

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  • Wolfgang Lück: Approximating L2-invariants by their finite-dimensional analogues. GAFA 4 (1994), S. 458–490.
  • Pierre Pansu: Introduction to L2 -Betti numbers.
  • Michail Gromov: Asymptotic Invariants of Infinite Groups. (Chapter 8)
  • Wolfgang Lück: L2-Invariants: Theory and Applications to Geometry and K-Theory.

Einzelnachweise

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  1. Miklos Abert, Nicolas Bergeron, Ian Biringer, Tsachik Gelander, Nikolay Nikolov, Jean Raimbault, Iddo Samet: On the growth of L2-invariants for sequences of lattices in Lie groups. Ann. Math. 185 (2017), S. 711–790