regelmäßiges Achtzehneck

Ein Achtzehneck oder Oktodekagon ist eine geometrische Figur. Es gehört zur Gruppe der Vielecke (Polygone). Es ist definiert durch achtzehn Eckpunkte.

Regelmäßiges AchtzehneckBearbeiten

Ein Spezialfall des Achtzehnecks ist das regelmäßige Achtzehneck, dessen Seiten alle gleich lang sind und dessen Eckpunkte auf einem gemeinsamen Umkreis liegen.

Mathematische ZusammenhängeBearbeiten

Formel für WinkelberechnungenBearbeiten

Der von zwei durch benachbarten Ecken gehenden Umkreisradien eingeschlossene Winkel (Zentriwinkel) beträgt

 .

Der Winkel, den zwei benachbarte Seitenkanten im ebenen, regelmäßigen Achtzehneck miteinander einschließen, beträgt

 .

Formel für die SeitenlängeBearbeiten

 
 
 

DiagonalenBearbeiten

 
Achtzehneck mit Diagonalen

Im regelmäßigen Achtzehneck gibt es insgesamt 135 Diagonalen mit verschiedenen Längen:

  • 18 Diagonalen über 2 (bzw. 16) Seiten
  • 18 Diagonalen über 3 (bzw. 15) Seiten
  • 18 Diagonalen über 4 (bzw. 14) Seiten
  • 18 Diagonalen über 5 (bzw. 13) Seiten
  • 18 Diagonalen über 6 (bzw. 12) Seiten
  • 18 Diagonalen über 7 (bzw. 11) Seiten
  • 18 Diagonalen über 8 (bzw. 10) Seiten
  • 9 Diagonalen über 9 Seiten

Die Längen im Verhältnis zum Umkreisradius betragen:

  • Die Diagonale über zwei Seiten entspricht der Seite eines Neunecks mit gleichem Umkreis:
    •  
  • Die Diagonale über drei Seiten entspricht der Seite eines Sechsecks mit gleichem Umkreis:
    •  
  • Die Diagonale über vier Seiten:
    •  
  • Die Diagonale über fünf Seiten:
    •  
  • Die Diagonale über sechs Seiten entspricht der Seite eines gleichseitigen Dreiecks mit gleichem Umkreis:
    •  
  • Die Diagonale über sieben Seiten:
    •  
  • Die Diagonale über acht Seiten:
    •  
  • Die Diagonale über neun Seiten entspricht dem Durchmesser des Umkreises:
    •  

Formel für die FlächeBearbeiten

 
Konstruktion des Achtzehnecks, eine Abwandlung der Konstruktrion des Neunecks mit Tomahawk.

Die Fläche A des regelmäßigen Achtzehnecks mit der Seitenlänge s beträgt

 

oder mit dem Umkreisradius

 .

KonstruktionBearbeiten

Das Achtzehneck wird durch Konstruktion eines Neunecks (zu Details siehe dortigen Artikel) und anschließende Winkel- oder Seitenhalbierung konstruiert. Weil ein regelmäßiges Neuneck nicht nur mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann, gilt das auch für das Achtzehneck. Man benötigt dazu zumindest ein Werkzeug zur Dreiteilung eines Winkels.

Regelmäßige überschlagene AchtzehneckeBearbeiten

Ein regelmäßiges überschlagenes Achtzehneck ergibt sich, wenn beim Verbinden der acht Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind. Notiert werden solche regelmäßige Sterne mit Schläfli-Symbolen  , wobei   die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder  -te Punkt verbunden wird.

Es gibt nur zwei regelmäßige Achtzehnecksterne, auch Octodecagramme genannt.

Die „Sterne“ mit den Schläfli-Symbolen {18/2} und {18/16} sind Neunecke, die mit den Schläfli-Symbolen {18/3} und {18/15} sind Sechsecke sowie die mit den Schläfli-Symbolen {18/6} und {18/12} sind gleichseitige Dreiecke. Die Sterne mit den Schläfli-Symbolen {18/4} und {18/14} bzw. {18/8} und {18/10} sind regelmäßige Neunstrahlsterne auch Enneagramme genannt.

Verwendung des AchtzehnecksBearbeiten

 
Befreiungshalle

Die um 1850 zum Andenken an Siege über Napoleon errichtete Befreiungshalle im bayrischen Kelheim hat einen achtzehneckigen Grundriss.