A-posteriori-Wahrscheinlichkeit

(Weitergeleitet von A-Posteriori-Verteilung)

Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit ist ein Begriff aus der bayesschen Statistik. Sie beschreibt den Wissensstand über einen unbekannten Umweltzustand a posteriori, d. h. nach der Beobachtung einer Zufallsgröße , die von in statistischer Abhängigkeit steht.

DefinitionBearbeiten

Folgende Situation ist gegeben:   ist ein unbekannter Umweltzustand (z. B. ein Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung), der auf der Basis von Beobachtungen   einer Zufallsgröße   geschätzt werden soll.

Gegeben sei eine Verteilung für den Parameter   vor der Beobachtung der Stichprobe. Diese Verteilung wird auch A-priori-Verteilung genannt.

Weiterhin sei die Dichte (bzw. im diskreten Fall: die Wahrscheinlichkeitsfunktion) der bedingten Verteilung der Stichprobe unter der Bedingung   gegeben. Diese Dichte (bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion) wird im Folgenden mit   bezeichnet.

Die A-posteriori-Verteilung ist die Verteilung des Populationsparameters   unter der Bedingung, dass für die Zufallsgröße   der Wert   beobachtet wurde. Die A-posteriori-Verteilung wird mit Hilfe des Satzes von Bayes aus der A-priori-Verteilung und der bedingten Verteilung der Stichprobe unter der Bedingung   berechnet.

A-posteriori-VerteilungBearbeiten

Für stetige A-priori-VerteilungenBearbeiten

Eine stetige A-priori-Verteilung liegt dann vor, wenn die A-priori-Verteilung auf der Menge der reellen Zahlen   oder auf einem Intervall in   definiert ist. Beispiele für stetige A-priori-Verteilungen sind:

  • die Normalverteilung (hier ist der Parameterraum   die Menge der reellen Zahlen) oder
  • die Gleichverteilung auf dem Intervall   (hier ist der Parameterraum   das Intervall  ).

Im Folgenden steht   für die auf dem Parameterraum   definierte A-priori-Dichte von  

In diesem Fall kann die A-posteriori-Dichte   folgendermaßen berechnet werden:[1]

 

Für diskrete A-priori-VerteilungenBearbeiten

Im folgenden Abschnitt steht   für die diskrete A-priori-Wahrscheinlichkeit, dass der Parameter   den Wert   annimmt. Eine diskrete A-priori-Verteilung ist auf einer endlichen Menge oder auf einer Menge mit abzählbar unendlichem Träger definiert.

Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit wird im Folgenden mit   bezeichnet und kann auf folgende Weise berechnet werden:[1]

 

Bedeutung in der bayesschen StatistikBearbeiten

In der bayesschen Statistik stellt die A-posteriori-Verteilung den neuen, durch Vorwissen und Beobachtung bestimmten Kenntnisstand über die Verteilung des Parameters   nach der Beobachtung der Stichprobe dar.

Damit ist die A-posteriori-Verteilung die Grundlage zur Berechnung aller Punktschätzer (siehe Bayes-Schätzer) und Glaubwürdigkeitsintervallen.[1]

BeispielBearbeiten

In einer Urne befinden sich rote und schwarze Kugeln. Es ist bekannt, dass der Anteil roter Kugeln entweder bei 40 % oder aber bei 60 % liegt. Um Genaueres herauszufinden, werden (mit Zurücklegen) 11 Kugeln aus der Urne gezogen. Es werden 4 rote und 7 schwarze Kugeln gezogen.

Die Zufallsgröße „Anzahl gezogener roter Kugeln“ wird im Folgenden mit   bezeichnet, der tatsächlich beobachtete Wert der Zufallsgröße mit  .

Die Zufallsgröße   ist binomialverteilt mit unbekanntem Parameter   wobei   nur einen der Werte   oder   annehmen kann. Da kein weiteres Vorwissen bekannt ist, wird als A-priori-Verteilung für   eine diskrete Gleichverteilung angenommen, d. h.

 

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion für   ergibt sich aus der Binomialverteilung zu

 

Man erhält daher für  

 

Für   erhält man

 

Die A-posteriori-Verteilung kann nun mit Hilfe des Satzes von Bayes berechnet werden. Für   erhält man als A-posteriori-Wahrscheinlichkeit

 

Für   ergibt sich die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit

 

Somit ist nach Ziehung der Stichprobe die Wahrscheinlichkeit, dass der Anteil roter Kugeln in der Urne 40 % beträgt, gleich  .

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b c Bernhard Rüger (1988), S. 152 ff.

LiteraturBearbeiten

  • Bernhard Rüger: Induktive Statistik. Einführung für Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler. R. Oldenbourg Verlag, München Wien 1988. ISBN 3-486-20535-8
  • Hans-Otto Georgii: Stochastik – Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. de Gruyter Verlag, Berlin New York 2007. ISBN 978-3-11-019349-7