Das -Theorem ist ein Theorem der Mathematik aus der hyperbolischen Geometrie von Flächen.

Das Bild zeigt vier geschlossene Kurven auf einer Fläche vom Geschlecht . Nach dem -Theorem gibt es auf dieser Fläche neun geschlossene Kurven, deren Längen jede hyperbolische Metrik eindeutig festlegen.

Hyperbolische (d. h. konstant negativ gekrümmte, ) Metriken auf Flächen sind eindeutig festgelegt durch die Längen geschlossener Kurven auf der Fläche in dieser Metrik (d. h. die Längen der eindeutigen geschlossenen Geodäten in der Homotopieklasse der Kurve). Man kann nun fragen, die Längen wievieler solcher geschlossener Geodäten man kennen muss, um die hyperbolische Metrik bereits eindeutig festzulegen. Das -Theorem gibt darauf die Antwort, dass man geschlossene Kurven findet, so dass eine hyperbolische Metrik bereits durch die Längen der entsprechenden geschlossenen Geodäten eindeutig festgelegt ist.

Aussage des Theorems

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Es besagt, dass auf einer (geschlossenen, orientierbaren) Fläche vom Geschlecht   eine Menge von   geschlossenen Kurven existiert, durch deren Längen jede hyperbolische Metrik auf der Fläche eindeutig festgelegt wird.

Der Satz liefert also eine Einbettung des Teichmüller-Raums in den  , die allerdings nur injektiv und nicht surjektiv ist. Ein (bijektiver) Diffeomorphismus des Teichmüller-Raums mit   wird stattdessen durch die Fenchel-Nielsen-Koordinaten realisiert, welche einer ausgewählten Menge von   geschlossenen Kurven die Länge und den Twist-Parameter der entsprechenden geodätischen Linien (Geodäten) zuordnen.

Der Satz verallgemeinert sich auf (orientierbaren) Flächen vom Geschlecht   mit   Spitzen, für welche die Längen von   geschlossenen Geodäten benötigt werden. Hamenstädt hat gezeigt, dass die hyperbolische Metrik auf geschlossenen Flächen sogar mit nur   geschlossenen Geodäten festgelegt werden kann, während   Geodäten dafür nicht ausreichen. Für geschlossene Flächen mit Spitzen benötigt man   Geodäten.

Notation

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  •   ist eine topologische Fläche,   ist eine topologische Fläche mit Geschlecht   und   entfernten Punkten. Wurden keine Punkte entfernt, schreiben wir  .
  •   bezeichnet den Teichmüller-Raum von  , der Raum der Isotopie-Äquivalenzklassen der markierten Riemannschen Flächen  . Wenn die Euler-Charakteristik   negativ ist, ist jedes Element eine hyperbolische Metrik.
  •   ist die Menge der Isotopie-Klassen von essentiellen einfach geschlossenen Kurven in  .
  •   ist ein Element aus dem Teichmüller-Raum, das heißt eine (beliebige) Äquivalenzklasse.
  •   ist eine Längen-Funktion. Sei   eine Äquivalenzklasse und   und   eine Isotopie-Klasse. Dann ist   die Länge der eindeutigen Geodäte in   in der Isotopie-Klasse  .
  •   bezeichnet die Menge der reellen Funktionen auf  .

Das Theorem sagt im Wesentlichen, dass die Abbildung   definiert durch

 

nicht nur injektiv ist – in anderen Worten eine Äquivalenzklasse   aus dem Teichmüller-Raum komplett durch die geodätischen Längen in   der einfach geschlossenen Kurve in   charakterisiert wird – sondern dass bereits die Werte auf   geschickt ausgewählten Elementen von   genügen, um das Urbild in   eindeutig festzulegen.[1]

Es existiert eine Menge von einfach geschlossenen Kurven   in  , so dass die Abbildung   definiert durch

 

injektiv ist.[2]

Literatur

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  • Benson Farb, Dan Margalit: A primer on mapping class groups. (= Princeton Mathematical Series. 49). Princeton University Press, Princeton, NJ 2012, ISBN 978-0-691-14794-9. (online archiviert via archive.org; pdf)
  • Ursula Hamenstädt: Length functions and parametrization of Teichmüller space for surfaces with cusps. Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 28, 75–88 (2003). (online; pdf)

Einzelnachweise

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  1. Benson Farb, Dan Margalit: A primer on mapping class groups. In: Princeton University Press (Hrsg.): Princeton Mathematical Series. Band 49, 2012, ISBN 978-0-691-14794-9, S. 263–265 (online [PDF]).
  2. Benson Farb, Dan Margalit: A primer on mapping class groups. In: Princeton University Press (Hrsg.): Princeton Mathematical Series. Band 49, 2012, ISBN 978-0-691-14794-9, S. 286–287 (online [PDF]).