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Änderungsrate

eine zeitabhängige Messgröße

Die Änderungsrate einer zeitabhängigen Größe beschreibt das Ausmaß der Veränderung von in einem bestimmten Zeitraum im Verhältnis zur Dauer des Zeitraums. Anschaulich gesprochen ist sie ein Maß dafür, wie schnell sich die Größe ändert.

Man unterscheidet

  • die „mittlere Änderungsrate“, hier ist der Bezugszeitraum die Zeit zwischen zwei Messungen, und
  • die „momentane Änderungsrate“ oder „lokale Änderungsrate“, hier ist der Bezugszeitraum vernachlässigbar kurz („unendlich klein“).

Änderungsraten unterscheiden sich von Veränderungsangaben dadurch, dass sie immer ein Verhältnis der Form „Größe pro Zeit“ mit entsprechender Maßeinheit sind.

Berechnung und VerwendungBearbeiten

Mittlere ÄnderungsrateBearbeiten

Die mittlere Änderungsrate ist die durchschnittliche Änderung einer zeitabhängigen Messgröße   zwischen zwei Zeitpunkten   und  , also im Zeitraum  . Berechnet wird sie als Quotient aus der Differenz der beiden Werte zu diesen Zeitpunkten   und der Dauer   des Zeitraums:  

Im Zeit-Größen-Diagramm (Funktionsgraph, Schaubild) von   ist die mittlere Änderungsrate zwischen   und   die Steigung der Sekante durch die Punkte   und   auf dem Diagramm.

Momentane ÄnderungsrateBearbeiten

Die momentane Änderungsrate ist die auf einen „Moment“ (sehr kurzen Zeitraum) bezogene Veränderung einer Messgröße  . Sie kann mathematisch als Ergebnis des Grenzprozesses

 

als Ableitung   ihrer Zeit- -Funktion   dargestellt werden.

Änderungsraten in weiterem SinnBearbeiten

Werden die Begriffe im übertragenen Sinn für Größen   verwendet, die von einem anderen Parameter   als der Zeit abhängen, so ist:[1]

  • die mittlere Änderungsrate gleichbedeutend mit dem Differenzenquotienten  
  • die momentane Änderungsrate gleichbedeutend mit dem Differentialquotienten  
  • die momentane relative Änderungsrate gleichbedeutend mit dem Quotienten   der momentanen Änderungsrate und des dazugehörigen Funktionswerts der reellen Funktion  .

Ist der Parameter   eine vektorielle Größe, so wird statt des Begriffs „Rate“ auch der Begriff „Gradient“ verwendet, etwa Temperaturgradient oder Luftdruckgradient.

BeispieleBearbeiten

  • Bei einer geradlinigen Bewegung ist die Geschwindigkeit   die momentane Änderungsrate der Zeit-Weg-Funktion  . Der Artikel Geschwindigkeit macht im Abschnitt Definition der Geschwindigkeit den Unterschied von mittlerer und momentaner Änderungsrate deutlich.[2]
  • Die Steigleistung eines Luftfahrzeuges gibt an, wie viel Höhe in einer bestimmten Zeit gewonnen werden kann.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. 5. Auflage. Teubner-Verlag, 1988, ISBN 3-519-42221-2
  • Christian Gerthsen, Hans O. Kneser, Helmut Vogel: Physik: ein Lehrbuch zum Gebrauch neben Vorlesungen. 16. Auflage. Springer-Verlag, 1992, ISBN 3-540-51196-2

AnmerkungenBearbeiten

  1. Lohöfer; Mathematische und statistische Methoden für Pharmazeuten. Tabelle der üblichen Änderungsbegriffe für Variable und Funktionen; Universität Marburg 2006@1@2Vorlage:Toter Link/www.mathematik.uni-marburg.de (Seite nicht mehr abrufbar, Suche in Webarchiven  Info: Der Link wurde automatisch als defekt markiert. Bitte prüfe den Link gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis., zuletzt abgerufen 20. Juni 2016.
  2. Der Quotient   aus der Veränderung   des Messwerts Weg in einer Zeitspanne   und dieser Zeitspanne ist die „mittlere Änderungsrate des Weges“ oder „Durchschnittsgeschwindigkeit“ in diesem Zeitraum. Durch experimentellen Grenzübergang – indem man immer kleinere Zeiträume betrachtet und die sich entwickelnde Tendenz feststellt – kommt man zu einer Annäherung an die momentane Änderungsrate der Zeit-Weg-Funktion, d. h. zur Momentangeschwindigkeit. Auch ein Radar-Geschwindigkeitsmessgerät misst die Momentangeschwindigkeit eines Fahrzeugs lediglich als mittlere Geschwindigkeit in einem allerdings sehr kleinen Zeitraum. Zu Unterschieden zwischen der experimentellen Änderungsrate und der mathematischen Ableitung deutlich siehe Gerthsen (1992), S. 9 f.