Wesentlich surjektiver Funktor

Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie
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Ein wesentlich surjektiver Funktor ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie.

Definition

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Ein Funktor   zwischen zwei Kategorien   und   heißt wesentlich surjektiv (oder dicht), falls zu jedem Objekt   in   ein Objekt   in   existiert, so dass   isomorph ist zu  .[1]

Beispiele

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  • Jede Äquivalenz von Kategorien liefert einen wesentlich surjektiven Funktor, denn ein Funktor ist genau dann eine Äquivalenz, wenn er volltreu und wesentlich surjektiv ist.[2]
  • Umgekehrt lässt sich die wesentliche Surjektivität auch durch Äquivalenz charakterisieren: Ein Funktor   ist genau dann wesentlich surjektiv, wenn die vom Bild der Objekte in   erzeugte volle Unterkategorie von   äquivalent zu   ist.
  • Ist   ein Körper,   die Kategorie der Vektorräume   (im Sinne der  -fachen direkten Summe),   Kardinalzahl, und   die Kategorie aller  -Vektorräume, so ist die Einbettung   wesentlich surjektiv, denn nach Ergebnissen der linearen Algebra ist jeder  -Vektorraum isomorph zu einem  .
  • Ist   der Körper der reellen oder der komplexen Zahlen,   die Kategorie der Hilberträume über   mit den isometrischen Isomorphismen und   die Kategorie der Mengen mit den bijektiven Abbildungen, so ist nach dem Satz von Fischer-Riesz der Funktor   wesentlich surjektiv.

Einzelnachweise

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  1. Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie, Spektrum Akademischer Verlag 2009, ISBN 3827420407, Seite 130
  2. Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie, Spektrum Akademischer Verlag 2009, ISBN 3827420407, Satz 7.5