Theorem von Belevitch

Lehrsatz in der Schaltungstheorie

Das Theorem von Belevitch (englisch Belevitch's theorem) ist ein nach Vitold Belevitch benannter und in der elektrischen Schaltungstheorie verwendeter Lehrsatz, um festzustellen, ob eine gegebene S-Matrix eines Zweitors grundsätzlich verlustfrei und rational realisierbar ist.

Verlustfrei bedeutet in diesem Zusammenhang, dass sich das Zweitor im Inneren nur durch ideale Kondensatoren und Spulen ohne verlustbehaftete ohmsche Widerstände realisieren lässt. Rational bedeutet, dass zur Beschreibung der S-Matrix nur rationale Funktionen zum Einsatz kommen. Implizit ist damit festgelegt, dass im Zweitor nur konzentrierte Bauelemente (diskrete Bauelemente) in Form von Kondensatoren und Spulen vorkommen.

Allgemeines

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Die gegebene S-Matrix eines Zweitors   vom Grad   ist in der Form:

 

mit   der komplexen Frequenz, im eingeschwungenen Zustand reduziert sich   auf  , mit der Kreisfrequenz  . Der Grad   gibt, bei Existenz, die Anzahl der im Zweitor enthaltenen konzentrierten Kondensatoren und Spulen an.

Das Theorem von Belevitch sagt nun aus, dass ein solcher, verlustfreier und rationaler Zweitor   dann und nur dann existiert, wenn die S-Matrix sich in folgender Form darstellen lässt:

 

mit folgenden Bedingungen:

  1.  ,   und   sind reellen Polynome
  2.   ist ein Hurwitzpolynom vom Grad kleiner oder gleich  .
  3.  

für alle  .

Literatur

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  • Vitold Belevitch: Classical Network Theory. Holden-Day, San Francisco 1968, OCLC 413916.
  • Daniel Nahum Rockmore and Dennis M. Healy: Modern Signal Processing. Cambridge University Press, 2004, ISBN 0-521-82706-X.