In der Statistik entspricht eine Stichproben-Regressionsfunktion (englisch sample regression function, kurz: SRF), auch empirische Regressionsfunktion, der geschätzten Version der Regressionsfunktion der Grundgesamtheit. Die Stichproben-Regressionsfunktion ist fix, aber in der Grundgesamtheit unbekannt. Handelt es sich bei der Regressionsfunktion um eine Gerade, dann ist auch von einer Stichproben-Regressionsgerade oder empirischen Regressionsgerade die Rede. Die Stichproben-Regressionsgerade wird als Kleinste-Quadrate-Regressionsgerade (kurz: KQ-Regressionsgerade) aus Beobachtungspaaren gewonnen, die Datenpunkte repräsentieren. Sie stellt laut dem Kleinste-Quadrate-Kriterium die bestmögliche Anpassung an die Daten dar.

Einfache lineare Regression

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Wenn man mittels der Kleinste-Quadrate-Schätzung den Kleinste-Quadrate-Schätzer für die Steigung   und den Kleinste-Quadrate-Schätzer für das Absolutglied   ermittelt, dann erhält man die folgende KQ-Regressionsgerade:

 .

Diese wird auch Stichproben-Regressionsfunktion genannt, da sie eine geschätzte Variante der (theoretischen) Regressionsfunktion der Grundgesamtheit

 

darstellt.[1] Die Parameter   und   werden auch empirische Regressionskoeffizienten genannt.[2] Da die Stichproben-Regressionsfunktion durch eine gegebene Stichprobe gewonnen wird, liefert eine neue Stichprobe einen neuen Anstieg   und ein neues Absolutglied  . In den meisten Fällen kann man den Kleinste-Quadrate-Schätzer für die Steigung darstellen als

 

Durch diese Darstellung kann man erkennen, dass der Kleinste-Quadrate-Schätzer für die Steigung wiedergibt, wie stark sich die Zielgröße   verändert, wenn sich die Einflussgröße   um eine Einheit erhöht.[3]

Multiple lineare Regression

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Gegeben ein typisches multiples lineares Regressionsmodell  , mit   dem   Vektor der unbekannten Regressionsparameter, der   Versuchsplanmatrix  , dem   Vektor der abhängigen Variablen   und dem   Vektor der Störgrößen  . Dann ist die KQ-Stichproben-Regressionsfunktion bzw. Stichproben-Regressionshyperebene   gegeben durch

 ,

wobei   die Prädiktionsmatrix darstellt.

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Einzelnachweise

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  1. Jeffrey Marc Wooldridge: Introductory econometrics: A modern approach. 5. Auflage. Nelson Education, 2013, S. 31.
  2. Otfried Beyer, Horst Hackel: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 1976, S. 185.
  3. Jeffrey Marc Wooldridge: Introductory econometrics: A modern approach. 5. Auflage. Nelson Education, 2013, S. 31.