Stationäre Raumzeit

Raumzeit, die ein zeitartiges Killing-Vektorfeld besitzt

In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird eine Raumzeit als stationär bezeichnet, wenn sie ein zeitartiges Killing-Vektorfeld besitzt. Dabei verwenden einige Autoren (z. B. Ludvigsen)[1] die Bezeichnung „stationäre Raumzeit“ auch bei asymptotisch flachen Raumzeiten, welche lediglich ein Killing-Vektorfeld besitzen, das asymptotisch zeitartig ist, d. h., die Killing-Vektoren werden im Grenzfall großer Entfernung zeitartig. Andere Autoren (Hawking and Ellis) bezeichnen eine Raumzeit, welche lediglich ein asymptotisch zeitartiges Killing-Vektorfeld besitzt als asymptotisch stationär, noch andere (Carroll) verwenden die Bezeichnung inkonsistent.[2]

Entlang eines Killing-Vektorfeldes ist der Metrische Tensor invariant. Anschaulich bedeutet dies, dass es Beobachter gibt, für die sich das Gravitationsfeld zeitlich nicht ändert.

Zusammensetzung des Linienelements einer stationären Raumzeit

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Ein Beobachterfeld   in einer Raumzeit   heißt stationär, wenn es eine positive Funktion   gibt, sodass   ein Killing-Vektorfeld ist. Besitzt die Raumzeit ein stationäres Beobachterfeld, so heißt sie stationär. In den Koordinaten eines stationären Beobachters sind die Komponenten   des Metrischen Tensors unabhängig von der Zeitkoordinate. Das Linienelement (mit Signatur   und  ) einer stationären Raumzeit lässt sich daher auf die Form

 

bringen, wobei   die Zeitkoordinate,   die drei räumlichen Koordinaten und   der metrische Tensor des dreidimensionalen Raums ist. In diesen Koordinaten hat das Killing-Vektorfeld   die Komponenten  .   ist ein positiver Skalar der die Norm des Killing-Vektorfelds bestimmt, d. h.  , und   ein Dreiervektor der die Rotation (englisch twist) der Raumzeit bestimmt. Dieser Vektor berechnet sich aus den räumlichen Komponenten des Twist-Vektors  (siehe beispielsweise[3] S. 163) zusammen, der als antisymmetrisches Produkt des Killing-Vektorfelds und seiner kovarianten Ableitung  , mit Hilfe des Epsilon-Tensor   berechnet wird.

Twist-Vektor und dessen Interpretation

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Der Twist-Vektor beschreibt, wie stark die Orientierung des Killing-Vektorfelds von den Flächennormalen der raumartigen Hyperflächen abweicht. Wenn das Killing-Vektorfeld orthogonal zu den raumartigen Hyperflächen ist, d. h., es gilt  , dann ist das Killing-Vektorfeld rotationsfrei und der Dreiervektor   verschwindet. Eine solche Raumzeit wird statisch genannt.

Aus dieser Definition folgt, dass eine statische Raumzeit immer stationär ist, eine stationäre Raumzeit aber nicht statisch sein muss.

Beispiele

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  • Eine flache Raumzeit wird durch eine Minkowski-Metrik beschrieben und ist stationär und statisch.
  • Die Raumzeit einer homogenen, nicht geladenen und nicht rotierenden Kugel, wird durch die Schwarzschild-Metrik beschrieben und ist asymptotisch stationär und asymptotisch statisch.
  • Das Gravitationsfeld eines nicht geladenen, rotierenden schwarzen Lochs wird durch die Kerr-Metrik beschrieben und ist asymptotisch stationär aber nicht asymptotisch statisch.
  • Eine Raumzeit mit Gravitationswellen ist weder stationär noch statisch.

Einzelnachweise

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  1. Malcolm Ludvigsen: General Relativity: A Geometric Approach. Cambridge University Press, 1999, ISBN 978-0-521-63976-7, S. 123 f. (google.com).
  2. Benjamin Crowell: Static and Stationary Spacetimes. 21. April 2019, abgerufen am 22. April 2019.
  3. Wald, R.M., (1984). General Relativity, (U. Chicago Press)