Starke Suffizienz

Die starke Suffizienz ist in der mathematischen Statistik eine Abwandlung der Suffizienz und damit wichtig für die Beantwortung der Frage, ob Informationen verlustfrei komprimiert werden können. Wie bei der (gewöhnlichen) Suffizienz definiert man zuerst die stark suffiziente σ-Algebra, um darauf aufbauend die stark suffiziente Statistik zu definieren. Starke Suffizienz und Suffizienz hängen zusammen, sind aber im Allgemeinen nicht identisch. Die starke Suffizienz geht zurück auf eine Arbeit von David Blackwell aus dem Jahr 1951, siehe Abschnitt Literatur.

DefinitionBearbeiten

Gegeben sei ein statistisches Modell   und eine σ-Algebra   mit  . Dann heißt   eine stark suffiziente σ-Algebra für  , wenn ein Markow-Kern   von   nach   existiert, so dass

 

für alle   und alle  .

Eine Statistik   heißt eine stark suffiziente Statistik, wenn die von der Statistik erzeugte σ-Algebra   eine stark suffiziente σ-Algebra ist.

Beziehung zur SuffizienzBearbeiten

Auf borelschen Räumen fallen starke Suffizienz und Suffizienz zusammen. Denn ist   stark suffizient, so ist   genau die von der Wahl von   unabhängige  -messbare Funktion, die bei der Definition der Suffizienz verlangt wird. Ist umgekehrt   suffizient auf einem Borelraum, so existiert der bei der Definition der starken Suffizienz geforderte Markow-Kern immer; er ist genau der Kern, der die reguläre bedingte Verteilung definiert, die auf borelschen Räumen immer existiert.

VerwendungBearbeiten

Die starke Suffizienz wird beispielsweise in der Entscheidungstheorie verwendet. Hier werden Entscheidungen mittels Markow-Kernen modelliert, den sogenannten randomisierten Entscheidungsfunktionen. Um den Schaden einer Entscheidungsfunktion zu bemessen, wird eine Risikofunktion definiert, die bei vorliegendem, aber unbekannten Parameter, und einer gegebenen Entscheidungsfunktion das Risiko für eine Entscheidung bemisst. Ist nun   eine stark suffiziente σ-Algebra, so lässt sich die Entscheidungsfunktion anstelle auf der großen σ-Algebra   auf   definieren, ohne dass sich die Risikofunktion ändert. Somit enthält die stark suffiziente σ-Algebra bereits alle für die Risikofunktion nötigen Informationen.

LiteraturBearbeiten