Reguläre bedingte Verteilung

Die reguläre bedingte Verteilung einer Zufallsvariable ist ein Begriff aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Sie verallgemeinert die Verteilung einer Zufallsvariable um den Aspekt, dass eventuell schon Vorinformationen über die möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments bekannt sind. Damit spielt die reguläre bedingte Verteilung eine wichtige Rolle in der Bayes-Statistik und in der Theorie der stochastischen Prozesse. Im Gegensatz zur (gewöhnlichen) bedingten Verteilung ist die reguläre bedingte Verteilung mithilfe des bedingten Erwartungswertes definiert und nicht mit der (gewöhnlichen) bedingten Wahrscheinlichkeit, was sie wesentlich allgemeiner macht.

DefinitionBearbeiten

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum   und ein Messraum   sowie eine Unter-σ-Algebra   von  . Sei   eine Zufallsvariable von   nach  .

Ein Markow-Kern   von   nach   heißt eine reguläre Version der bedingten Verteilung der Zufallsvariable   gegeben  , wenn

 

für alle   und für  -fast alle   gilt.

Dabei ist   die bedingte Wahrscheinlichkeit, wie sie über den bedingten Erwartungswert definiert wird.

Explizit bedeuten die Bedingungen in der Definition an die Funktion   also:

  1. Für alle   ist   ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf  ,
  2. für alle   ist   eine  -messbare Funktion und
  3. für alle   und alle   gilt  .

BemerkungenBearbeiten

ExistenzBearbeiten

Eine reguläre bedingte Verteilung existiert immer für reellwertige Zufallsvariablen, wenn die reellen Zahlen mit der Borelschen σ-Algebra versehen sind. Allgemeiner existiert die reguläre bedingte Verteilung immer für Zufallsvariablen mit Werten in Borel'schen Räumen, also beispielsweise für polnische Räume oder den   jeweils versehen mit der Borelschen σ-Algebra.

VariantenBearbeiten

Analog zu den Varianten des bedingten Erwartungswertes lassen sich auch verschiedene Varianten der regulären bedingten Verteilung definieren, die sich alle auf die obige Definition zurückführen lassen.

  • Ohne die Verwendung von Zufallsvariablen lässt sich die bedingte Verteilung von   gegeben   definieren als der Markow-Kern mit
 
für  -fast alle   und alle  .
  • Ist   eine weitere Zufallsvariable von   in einen weiteren Messraum  , so ersetzt man die σ-Algebra   durch die von der Zufallsvariable   erzeugte σ-Algebra  , um die bedingte Verteilung von   gegeben   zu erhalten.

BeispielBearbeiten

Gegeben seien zwei reellwertige Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichtefunktion   bezüglich des Lebesgue-Maßes. Dann ist die reguläre bedingte Verteilung von   gegeben   gegeben durch die Dichte

 ,

das heißt es gilt

 .

Hierbei bezeichnet   die Dichte der Randverteilung. Die Tatsache, dass diese Randverteilung im Nenner Null werden kann, ist nicht weiter problematisch, da dies bloß auf einer  -Nullmenge passiert.

Berechnung bedingter ErwartungswerteBearbeiten

Ist   eine reguläre Version der bedingten Verteilung einer integrierbaren reellwertigen Zufallsvariable   gegeben  , dann gilt für den bedingten Erwartungswert von   gegeben  

 

für  -fast alle  .

LiteraturBearbeiten