Bedingte Verteilung

Begriff aus der Stochastik

Die bedingte Verteilung von Zufallsvariablen ist in der Stochastik eine Möglichkeit, eine multivariate Verteilung mithilfe der Randverteilungen so abzuändern, dass die neu entstandene Verteilung schon vorhandenes Wissen über die Werte von einer oder mehreren Zufallsvariablen berücksichtigt. Bedingte Verteilungen spielen eine wichtige Rolle in der Bayesschen Statistik, beispielsweise zur Definition der A-posteriori-Wahrscheinlichkeiten. Die bedingte Verteilung basiert auf dem Konzept der (elementaren) bedingten Wahrscheinlichkeit und weist daher Defizite bezüglich Allgemeingültigkeit und im Umgang mit Nullmengen auf. Die wesentlich allgemeinere reguläre bedingte Verteilung, welche auf dem bedingten Erwartungswert aufbaut, hat diese strukturellen Probleme nicht, ist aber auch weitaus technischer.

DefinitionBearbeiten

Diskreter FallBearbeiten

Gegeben sei eine zweidimensionale Zufallsvariable   auf   mit gemeinsamer Wahrscheinlichkeitsfunktion   sowie die Randverteilung bezüglich   und entsprechender Randwahrscheinlichkeitsfunktion  . Dann heißt für   die Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsfunktion

 

die bedingte Verteilung von   gegeben  , die Wahrscheinlichkeitsfunktion wird auch bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion genannt. Das zugehörige Wahrscheinlichkeitsmaß wird meist mit   bezeichnet.

Stetiger FallBearbeiten

Gegeben sei eine Zufallsvariable   auf  . Die Zufallsvariable, welche als Verteilungsfunktion die bedingte Verteilungsfunktion

 

besitzt, heißt die bedingte Verteilung von   gegeben  .

Existiert eine gemeinsame Dichte   von   und   und existiert die Randdichte   bezüglich   und ist ungleich null, so hat die bedingte Verteilung die bedingte Dichte

 .

BeispielBearbeiten

Betrachte als Beispiel eine multinomialverteilte Zufallsvariable  , also  . Sie besitzt die Wahrscheinlichkeitsfunktion

 ,

die Randwahrscheinlichkeit bezüglich   ist binomialverteilt, also ist

 .

Für die bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion ergibt sich dann

 .

Dies ist nicht verwunderlich, da die beiden Zufallsvariablen über   miteinander gekoppelt sind. Die Summe der Erfolge muss immer   ergeben, daher bestimmt auch das Ergebnis von   bereits das Ergebnis von  . Somit ist hier die bedingte Wahrscheinlichkeit deterministisch.

LiteraturBearbeiten