Satz von Yan

mathematisches Resultat aus der Stochastik und ein Trennungs- und Existenzsatz

Der Satz von Yan ist ein mathematisches Resultat aus der Stochastik und ein Trennungs- und Existenzsatz, der von besonderem Interesse in der Finanzmathematik ist.[1] Der Satz kann verwendet werden, um einen anderen wichtigen Trennungssatz zu beweisen, den Satz von Kreps, welcher wiederum für die Beweise der meisten Varianten des Fundamentalsatzes der Arbitragepreistheorie benötigt wird. Da der Satz von Kreps mit Hilfe des Satzes von Yan ohne Separabilität-Annahmen auskommt, wird Kreps Resultat häufig als Satz von Kreps-Yan bezeichnet.[2]

Das Theorem ist nach dem chinesischen Mathematiker Jia-An Yan benannt, der bei Paul-André Meyer promovierte. Yan bewies den Satz für den L1-Raum, von Jean-Pascal Ansel stammt die Verallgemeinerung auf den Fall .[3]

Satz von Yan

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Notation:

  bezeichnet die abgeschlossene Hülle von  .
 .
  ist die Indikatorfunktion von  .
  ist der konjugierter Index von  .

Sei   ein Wahrscheinlichkeitsraum,   und   der Raum der nicht-negativen und beschränkten Zufallsvariablen. Weiter sei   eine konvexe Teilmenge und  .

Dann sind folgende drei Bedingungen äquivalent:

  1. Für alle   mit   existiert eine Konstante  , so dass  .
  2. Für alle   mit   existiert eine Konstante  , so dass  .
  3. Es existiert eine Zufallsvariable  , so dass   fast sicher und
 .

Erläuterungen

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Die Implikationen   und   sind einfach zu zeigen.   kann durch Anwendung des Satzes von Hahn-Banach respektive der geometrischen Form des Satzes gezeigt werden.

Einzelnachweise

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  1. Jia-An Yan: Caracterisation d' une Classe d'Ensembles Convexes de   ou  . In: Séminaire de probabilités de Strasbourg. Band 14, 1980, S. 220–222 (numdam.org – Theorem 2).
  2. Freddy Delbaen und Walter Schachermayer: The Mathematics of Arbitrage. Hrsg.: Springer Berlin. Heidelberg, doi:10.1007/978-3-540-31299-4.
  3. Jean-Pascal Ansel und Christophe Stricker: Quelques remarques sur un théorème de Yan. In: Springer (Hrsg.): Séminaire de Probabilités XXIV, Lect. Notes Math. 1990.