Satz von Wiener-Ikehara

mathematischer Satz, der besonders in der analytischen Zahlentheorie Anwendung findet

Der Satz von Wiener-Ikehara (manchmal auch Taubersatz von Wiener-Ikehara) ist ein mathematischer Satz, der besonders in der analytischen Zahlentheorie Anwendung findet. Unter gewissen Voraussetzungen macht er Aussagen über das asymptotische Verhalten zahlentheoretischer Funktionen. Er ist nach Norbert Wiener und Shikao Ikehara benannt und wird zu den Tauber-Theoremen gezählt.

Es sei   auf der Halbebene   gegeben durch die Dirichletreihe

 

wobei   für alle  . Ferner besitze die Funktion

 

für ein   eine stetige Fortsetzung auf die geschlossene Halbebene  . Dann gilt bereits

 .

Version für Integrale

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Es sei   eine reellwertige Funktion, welche folgende Eigenschaften erfülle:

  • sie ist monoton steigend,
  • sie verschwindet für alle Werte  ,
  • sie ist rechtsstetig.

Weiter existiere die Mellin-Stieltjes-Transformierte

 

für alle Werte  . Gibt es nun ein  , so dass sich die Funktion

 

stetig auf die halbebene   fortsetzen lässt, so gilt bereits

 .

Beispiel

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Ein einfaches Beispiel liefert die Riemannsche Zetafunktion  , welche auf der Halbebene   durch die Standard-Dirichletreihe

 

gegeben ist. Sie kann zu einer auf   holomorphen Funktion fortgesetzt werden und besitzt in   einen Pol erster Ordnung mit Residuum  . Daraus folgt, dass

 

eine ganze Funktion ist, also insbesondere von   stetig auf die Halbebene   fortgesetzt werden kann. In der Tat gilt

 

Anwendung

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Mit Hilfe des Taubersatzes von Wiener-Ikehara kann der Primzahlsatz bewiesen werden. Dabei wird der Satz auf die Dirichletreihe der Funktion   angewendet, wobei zunächst gezeigt werden muss, dass die Zetafunktion auf der Geraden   nicht verschwindet. Es folgt

 

was äquivalent zum Primzahlsatz ist.

Verallgemeinerungen

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Im Jahre 1954 konnte Delange den Satz von Wiener-Ikehara deutlich verallgemeinern, nämlich auf Singularitäten gemischten Typs.[1] Es sei   eine Dirichlet-Reihe mit nicht-negativen Koeffizienten, welche auf einer Halbebene   konvergiert. Man nehme an,   lasse sich mit Ausnahme des Punktes   holomorph auf die gesamte Gerade   fortsetzen und dass es sich in einer kleinen Umgebung um   in der Form

 

schreiben lässt, wobei   eine reelle Zahl und die Funktionen   und   holomorph sind mit  . Dann gilt: ist   keine negative ganze Zahl, so folgt

 

und ist es eine negative ganze Zahl   und  :

 

Literatur

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  • Jacob Korevaar: Tauberian Theory. A century of developments. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, ISBN 3-540-21058-X.
  • S. Ikehara: An extension of Landau's theorem in the analytic theory of numbers, Journal of Mathematics and Physics of the Massachusetts Institute of Technology, Band 10, 1931, S. 1–12
  • Norbert Wiener: Tauberian Theorems, Annals of Mathematics, Second Series, Band 33, 1932, S. 1–100

Einzelnachweise

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  1. Gérald Tenenbaum: Introduction to analytic and probabilistic number theory, AMS, 1990, S. 350