Satz von Whitney-Graustein

Lehrsatz aus der Differentialtopologie

Der Satz von Whitney-Graustein ist ein Lehrsatz aus der Differentialtopologie. Er klassifiziert Kurven in der Ebene mittels der von Carl Friedrich Gauß eingeführten Tangentenumlaufzahl.

Er ist nach Hassler Whitney und William Caspar Graustein benannt.[1]

Kurven in der Ebene

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Eine geschlossene reguläre Kurve in der Ebene ist eine Abbildung   mit   für alle  . Zwei reguläre Kurven heißen regulär homotop, wenn es eine Homotopie zwischen ihnen gibt, die zu jedem Zeitpunkt eine reguläre Kurve ist.

Die Umlaufzahl einer Kurve   in Bezug auf einen Punkt   stellt die Anzahl der Umrundungen entgegen der Uhrzeigerrichtung um   dar, wenn man dem Verlauf der Kurve folgt. Eine Umrundung in Uhrzeigerrichtung ergibt die negative Windungszahl −1.

Windungszahl
  1 −1 0 1 2
         
  1 −1 2 2 2

Die Tangentenumlaufzahl   einer regulären Kurve ist die Umlaufzahl der Tangente   als Abbildung   in Bezug auf den Nullpunkt  .

Satz von Whitney-Graustein

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Der Satz von Whitney-Graustein besagt, dass geschlossene reguläre Kurven in der Ebene genau dann regulär homotop sind, wenn sie dieselbe Tangentenumlaufzahl haben.

Verallgemeinerungen

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Smale verallgemeinerte diesen Satz auf Kurven in höher-dimensionalen Mannigfaltigkeiten und noch allgemeiner auf Immersionen von Sphären: für   sind zwei Immersionen   genau dann regulär homotop, wenn ihre Obstruktionsklassen   in der Homotopiegruppe der Stiefel-Mannigfaltigkeit übereinstimmen.

Literatur

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  • H. Whitney: On regular curves in the plane, Compos. Math. 4, 276–284, 1937. numdam (pdf)
  • K. Mehlhorn, C.-K. Yap: Constructive Whitney-Graustein Theorem: or how to untangle closed planar curves, SIAM J. Comput. 20, 603–621, 1991.
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Einzelnachweise

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  1. Whitney, Compositio Math., Band 4, 1937, S. 279, schreibt, dass ihm der Satz mit Beweis von Graustein zur Kenntnis gebracht wurde