Satz von Ulam

mathematischer Lehrsatz

Der Satz von Ulam ist ein mathematischer Lehrsatz auf dem Teilgebiet der Maßtheorie, der auf den Mathematiker Stanisław Marcin Ulam zurückgeht. Der Satz behandelt spezielle Eigenschaften von Borelmaßen auf polnischen Räumen.[1]

Formulierung des Satzes

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Der Satz von Ulam lässt sich angeben wie folgt:[1]

Sei   ein polnischer Raum und sei weiter   ein Borelmaß auf der σ-Algebra der Borelmengen von   .
Dann gilt:
(1)   ist ein reguläres Maß .
(2)   ist ein moderates Maß in dem Sinne,
dass   eine Darstellung als abzählbare Vereinigung der Form[2]
 
hat, in der jedes   eine offene Menge von   mit   ist.

Verschärfung

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Wie Paul-André Meyer zeigte, lässt sich der Satz von Ulam noch erheblich verschärfen, indem man an die Stelle der polnischen Räume die sogenannten Suslinräume treten lässt. Dabei ist ein Suslinraum ein Hausdorffraum   derart, dass dazu ein polnischer Raum   mit einer stetigen Surjektion   existiert.

Der Satz von Paul-André Meyer besagt dann:[1]

Jedes Borelmaß   auf einem Suslinraum   ist regulär und moderat .

Dass dieser Satz den ulamschen Satz verschärft, ergibt sich angesichts der Tatsache, dass jeder polnische Raum   unter der identischen Abbildung stets auch ein Suslinraum ist.

Einzelnachweise

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  1. a b c Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2011, S. 320–323
  2. Die durch eine abzählbare Vereinigung entstehende Vereinigungsmenge ist nicht notwendig selbst abzählbar.