Satz von Silver

mathematischer Satz

Der Satz von Silver, benannt nach Jack Silver, ist ein Satz aus der Mengenlehre, der sich mit möglichen Verallgemeinerungen der Kontinuumshypothese befasst. Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese ist von den üblichen Axiomen der Mengenlehre, das heißt von ZFC, unabhängig, man kann sie also dort weder beweisen noch widerlegen. Der hier zu besprechende Satz liefert eine Einschränkung für die Ungültigkeit der verallgemeinerten Kontinuumshypothese; er besagt, dass die kleinste Kardinalzahl, für die die verallgemeinerte Kontinuumshypothese falsch ist, keine singuläre Kardinalzahl mit überabzählbarer Konfinalität sein kann. Dieses Resultat war überraschend, Silver selbst schreibt[1]:

This result is contrary to the previous expectations of nearly all set-theorists, including myself. (deutsch: Dieses Ergebnis widerspricht den früheren Erwartungen fast aller Mengentheoretiker, einschließlich meiner selbst.)

Die Beweismethoden führen auch zu einem Satz über die singuläre-Kardinalzahlen-Hypothese, der ebenfalls als Satz von Silver bekannt ist.

FormulierungBearbeiten

Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese besagt, dass   für alle unendlichen Kardinalzahlen   gilt. Dabei ist   die Kardinalität der Potenzmenge einer Menge der Kardinalität   und   die Nachfolgerkardinalzahl von  . Der folgende Satz sagt, dass die Eigenschaft   für gewisse Kardinalzahlen erhalten bleibt, wenn sie bereits für alle kleineren gilt.

Satz von Silver:[2] Ist   eine singuläre Kardinalzahl mit   und gilt   für alle unendlichen Kardinalzahlen  , so gilt auch  .

Dabei ist   die Kofinalität von   und   die erste unendliche Kardinalzahl.

Die singuläre-Kardinalzahlen-Hypothese sagt, dass   (siehe auch Gimel-Funktion) für singuläre Kardinalzahlen   mit   gilt. Sie ist ebenfalls unabhängig von ZFC und sie folgt aus der verallgemeinerten Kontinuumshypothese, ist also schwächer als diese. Für die singuläre-Kardinalzahlen-Hypothese gilt der folgende Satz:

Satz von Silver[3]: Die Singuläre-Kardinalzahlen-Hypothese gilt bereits dann, wenn sie für alle singulären Kardinalzahlen mit abzählbarer Kofinalität gilt.

Zum BeweisBearbeiten

Beide Sätze verwenden ein Lemma über die Fortsetzung der Eigenschaft   in dem Sinne, dass wenn diese Gleichung für hinreichend viele kleinere Kardinalzahlen als   gilt, dann gilt sie auch für  . Genauer wird folgende technische Aussage bewiesen:

Es seien   eine singuläre Kardinalzahl mit   und   eine mit Ordinalzahlen indizierte aufsteigende Folge von Kardinalzahlen, so dass gilt

  1.   für alle  
  2.   (das ist äquivalent zu  )
  3.   für alle Limes-Ordinalzahlen   (solche Folgen heißen normal)
  4. Die Menge   ist stationär in  

Dann gilt  .

Auf den Beweis dieses Lemmas verzichten wir, aber es soll kurz erläutert werden, wie sich daraus der Satz von Silver über die Kontinuumshypothese ergibt:

Es sei also   eine singuläre Kardinalzahl mit   und es gelte   für alle Kardinalzahlen  . Zur Anwendung obigen Lemmas wählen wir eine beliebige normale Folge   mit Limes  , die es nach Definition der Kofinalität gibt, und überprüfen der Reihe nach die Voraussetzungen des Lemmas.

Zu 1. beachte, dass   für alle  , wobei der Reihe der Satz von König, Monotonie-Eigenschaften der Potenz von Kardinalzahlen, Kardinalzahlarithmetik und die vorausgesetzte Kontinuumshypothese für alle kleineren Kardinalzahlen verwendet wurden. Aus dieser Ungleichungskette ergibt sich   für alle Kardinalzahlen  . Dann gilt auch   für alle  , denn die Potenz kann wegen der vorausgesetzten Kontinuumshypothese für alle Kardinalzahlen   höchstens gleich   sein, aber Gleichheit kann nicht gelten, da   als singuläre Kardinalzahl keine Nachfolgerkardinalzahl ist. Die Voraussetzungen 2. und 3. gelten nach Wahl der normalen Folge  . Zu 4. beachte, dass im Nachweis von 1. die Gleichung   für alle Kardinalzahlen   festgestellt wurde. Daher gilt  , woraus sich die Stationarität in   ergibt.

Damit sind alle Voraussetzungen des Lemmas erfüllt, und es folgt  . Da   als singuläre Kardinalzahl eine Limes-Kardinalzahl ist, gilt   (siehe Kardinalzahlarithmetik) und wegen der Voraussetzung über   ist  , insgesamt also  , was den Beweis beendet.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Jack Silver: On the singular cardinals problem, Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Vancouver, B. C., 1974), Band 1, Seiten 265–268, Canad. Math. Congress, Montreal, hier online verfügbar (Memento des Originals vom 13. November 2013 im Internet Archive)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.mathunion.org (PDF; 56,8 MB)
  2. Thomas Jech: Set Theory, Springer-Verlag (2003), ISBN 3-540-44085-2, Theorem 8.12
  3. Thomas Jech: Set Theory, Springer-Verlag (2003), ISBN 3-540-44085-2, Theorem 8.13