Satz von Krasnoselski

Lehrsatz der Konvexgeometrie

Der Satz von Krasnoselski (englisch Krasnosselsky’s theorem bzw. Krasnoselsky’s theorem bzw. Krasnosel'skii’s theorem) ist einer der klassischen Lehrsätze des mathematischen Teilgebiets der Konvexgeometrie und als solcher angesiedelt im Übergangsfeld zwischen Geometrie und Analysis. Er geht zurück auf eine wissenschaftliche Arbeit des sowjetischen Mathematikers Mark Alexandrowitsch Krasnoselski aus dem Jahre 1946. Der Satz behandelt die Frage, unter welchen Bedingungen gewisse Teilmengen des Euklidischen Raums sternförmige Mengen sind. Er ist verwandt mit (und sogar eine Folgerung aus) dem Satz von Helly.[1][2][3][4]

Formulierung des Satzes

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Der Satz lässt sich zusammengefasst darstellen wie folgt:[1][5][6]

Gegeben seien eine natürliche Zahl   und eine aus unendlich vielen Raumpunkten bestehenden kompakte Teilmenge  . Hier gebe es zu jeder aus   Raumpunkten bestehenden Teilmenge   einen zugehörigen Raumpunkt   dergestalt, dass jedes   von   aus sichtbar (s. u.) ist.
Dann gilt:
  ist sternförmig.
Zusatz: Die Behauptung des Satzes gilt auch dann noch, wenn man die obige Sichtbarkeitsbedingung abschwächt und sie lediglich für jede aus   ordentlichen (s. u.) Raumpunkten bestehende Teilmenge   fordert.[7]

Erläuterungen

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  • Für zwei Punkte   ist   von   aus (in  ) sichtbar – und umgekehrt! –, wenn ihre Verbindungsstrecke eine Teilmenge von   ist, wenn also für ihre konvexe Hülle die Beziehung   gilt.
  • Ein ordentlicher Punkt von   ist ein Randpunkt  , der zugleich ein Stützpunkt von   ist. Es ist dabei ein Stützpunkt von   ein Raumpunkt  , zu dem ein lineares Funktional   existiert, welches nicht die Nullabbildung ist und dabei die Beziehung   erfüllt.[8]

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. a b Steven R. Lay: Convex Sets and Their Applications. 1982, S. 53
  2. Jürg T. Marti: Konvexe Analysis. 1977, S. 203 ff
  3. Kurt Leichtweiß: Konvexe Mengen. 1980, S. 76 ff
  4. Frederick A. Valentine: Convex Sets. 1964, S. 82 ff
  5. Leichtweiß, op. cit., S. 76–77
  6. Valentine, op. cit., S. 84
  7. Marti, op. cit., S. 212
  8. Marti, op. cit., S. 66, S. 211