Satz über wandernde Gebiete

mathematischer Satz

In der Mathematik ist der Satz über wandernde Gebiete (engl. no-wandering-domain theorem) ein Lehrsatz aus der Theorie dynamischer Systeme. Er besagt, dass durch Iteration einer rationalen Abbildung in der komplexen Zahlenebene keine wandernden Gebiete entstehen.

Die Komponenten der Fatou-Menge der transzendenten Abbildung

sind weiß gezeichnet, sie sind wandernde Gebiete
Die Komponenten der Fatou-Menge der rationalen Abbildung

konvergieren je nach Färbung gegen eine der Nullstellen von und sind deshalb nicht-wandernde Gebiete

Der Satz wurde in den 20er Jahren von Pierre Fatou und Gaston Julia vermutet und 1982 von Dennis Sullivan bewiesen.

Wandernde Gebiete

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Sei   die Riemannsche Zahlenkugel und   eine holomorphe Abbildung. Die Fatou-Menge ist die Menge aller Punkte   in denen die Folge der Iterierten   gleichgradig stetig ist, das heißt, das   in der  - -Definition von Stetigkeit hängt nicht von   ab. Die Fatou-Menge kann aus verschiedenen (evtl. unendlich vielen) Zusammenhangskomponenten bestehen. Für eine Zusammenhangskomponente   ist   ebenfalls eine Zusammenhangskomponente der Fatou-Menge.

Eine Zusammenhangskomponente   heißt ein wanderndes Gebiet, wenn die Folge   aus unendlich vielen unterschiedlichen Zusammenhangskomponenten besteht. Andernfalls, wenn die Folge   letztendlich periodisch wird, spricht man von einem nichtwandernden Gebiet.

Satz über wandernde Gebiete

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Die Fatou-Menge einer rationalen Abbildung hat keine wandernden Gebiete.

Transzendente ganze Funktionen können hingegen wandernde Gebiete haben. Ein entsprechendes Beispiel war bereits 1976 von Baker gegeben worden.

Literatur

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  • D. Sullivan: Quasiconformal homeomorphisms and dynamics. I: Solution of the Fatou-Julia problem on wandering domains. Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 122, No. 2, S. 401–418, 1985, Preview bei JSTOR.org.
  • I. N. Baker: An entire function which has wandering domains. Journal of the Australian Mathematical Society, Series A, Vol. 22, S. 173–176, 1976.