Im mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie ist das riemannsche Produkt das Produkt zweier riemannscher Mannigfaltigkeiten mit der Produktmetrik.

Der 2-dimensionale Torus als Produkt zweier Kreise.

Definition

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Sind   und   zwei riemannsche Mannigfaltigkeiten und   ihr kartesisches Produkt mit der Produkttopologie und den Projektionen   und   auf die beiden Faktoren, so definiert

 

für   eine riemannsche Metrik   auf  . Die Mannigfaltigkeit   mit der riemannschen Metrik   wird als riemannsches Produkt von   und   bezeichnet.

Beispiele

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Das Produkt zweier Kreise ist ein Torus mit einer flachen Metrik. Allgemeiner gibt es in jedem riemannschen Produkt Ebenen der Schnittkrümmung 0: Wenn   eine Geodäte in   und   eine Geodäte in   ist, dann ist   eine flache Untermannigfaltigkeit von  .

Literatur

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