Die reidsche Ungleichung ist eine mathematische Ungleichung aus dem Bereich der Operatorentheorie auf Hilberträumen. Sie wurde 1951 von William Thomas Reid bewiesen.

Formulierung

Bearbeiten

Seien   ein Hilbertraum und   stetige lineare Operatoren auf  , so dass gilt:

  •   ist ein positiver Operator, das heißt   für alle  
  •   ist selbstadjungiert, das heißt   für alle  .

Dann gilt   für alle  .

Der Beweis kann mit elementaren Mitteln geführt werden, das heißt ohne Spektraltheorie oder Funktionalkalkül. Im Wesentlichen handelt es sich um eine geschickte Anwendung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung für die positiv semidefinite Sesquilinearform   auf  .

Anwendung

Bearbeiten
  • Sind die positiven Operatoren   und   vertauschbar, das heißt  , so ist auch   positiv.

Zum Beweis sei   der identische Operator auf dem zu Grunde liegenden Hilbertraum. Ohne Einschränkung ist  . Dann ist auch   und daher  . Da   auch mit   vertauscht, ist   selbstadjungiert, und die reidsche Ungleichung liefert  . Also ist  , das heißt  .

Die Beweisführung dieses wichtigen Resultats mit Hilfe der reidschen Ungleichung erfordert nur elementare Hilfsmittel. Mit fortgeschrittener Theorie kann man dieses Ergebnis ebenso schnell erhalten. Dann betrachtet man die von   und   erzeugte C*-Algebra, die, da kommutativ, nach dem Satz von Gelfand-Neumark isomorph zu einer Algebra stetiger Funktionen auf einem lokalkompakten Hausdorffraum   ist, und obige Anwendung reduziert sich auf die Tatsache, dass das Produkt zweier stetiger Funktionen   wieder eine solche Funktion ist.

  • W. T. Reid: Symmetrizable completely continuous linear transformations in Hilbert space, Duke Mathematical Journal, Band 18, Seiten 41–56, (1951)
  • Harro Heuser: Funktionalanalysis, Teubner-Verlag, 1975