Links- und rechtsseitige Stetigkeit

Links- und rechtsseitige Stetigkeit beschreibt in der Mathematik die Eigenschaft, dass eine Funktion nur von einer Seite aus gesehen stetig ist. Durch die „Aufteilung“ der Stetigkeit in linksseitige und rechtsseitige Stetigkeit hat man die Eigenschaft einer stetigen Funktion, „keine Sprünge“ zu machen, aufgeteilt in die Eigenschaften, keine Sprünge zu machen, wenn man sich dem betrachteten Punkt von links bzw. von rechts nähert.

Mathematisch wird einseitige Stetigkeit mithilfe von einseitigen Grenzwerten beschrieben. Ein einseitiger Grenzwert nähert sich dem Wert nur von einer Seite, man unterscheidet also zwischen einem linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert.

Definition

Eine Funktion $f$ heißt linksseitig stetig in einem Punkt ihres Definitionsbereichs $x_{0}\in D_{f}\subseteq \mathbb {R}$ , wenn für den linksseitigen Grenzwert die Gleichung

\lim _{x\to x_{0}-}f(x)=f(x_{0})

gilt, dazu äquivalent wenn die Einschränkung von $f$ auf $]-\infty ,x_{0}]\cap D_{f}$ stetig in $x_{0}$ ist, oder ebenfalls dazu äquivalent wenn die Bedingung

(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\to x_{0}\Longrightarrow (f(a_{n}))_{n\in \mathbb {N} }\to f(x_{0})

für alle streng monoton steigenden Folgen $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in $D_{f}$ gilt.

Analog ist der Begriff der rechtsseitigen Stetigkeit (z. B. über streng monoton fallende Folgen) definiert. Die Stetigkeit von $f$ in $x_{0}$ ist dann äquivalent dazu, dass die Funktion sowohl linksseitig als auch rechtsseitig in $x_{0}$ stetig ist. Dies ermöglicht eine Klassifizierung von Unstetigkeitsstellen.

Es gibt Autoren, die linksseitig stetig zu linksstetig und rechtsseitig stetig zu rechtsstetig verkürzen.

Beispiele

Die Heaviside-Funktion ist in 0 rechtsseitig, aber nicht linksseitig stetig. Die Vorzeichenfunktion ist in 0 dagegen weder linksseitig noch rechtsseitig stetig.

Literatur

H. Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 1980, ISBN 3-519-02221-4 (17. aktualisierte Auflage. ebenda 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9).