Eine Zylindermenge, manchmal auch Randereignisse genannt, ist eine spezielle Menge, die in der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik verwendet wird. Ein Spezialfall einer Zylindermenge ist ein Rechteckszylinder. Systeme von Zylindermengen werden verwendet, um Produkt-σ-Algebren zu definieren, die wiederum die Basis für die Definition von Produktmaßen und Produktmodelle bilden.

Definition

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Gegeben sei eine beliebige Indexmenge  , eine Grundmenge als kartesisches Produkt

 

sowie für eine Teilmenge   die kanonische Projektion

 ,

wobei   die Einschränkung auf die Komponenten in   bezeichnet. Dann heißt eine Menge der Form

 

eine Zylindermenge mit Basis  .

Erläuterungen

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Eine Zylindermenge ist folglich von der Form

 

für  .

Insbesondere wenn  , dann ist die Menge von der Form

 

und wird häufig abgekürzt als  .

Abgeleitete Begriffsbildungen

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System der Zylindermengen

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Ist auf der Menge   eine σ-Algebra   gegeben, so nennt man das Mengensystem

 

das Mengensystem der Zylindermengen.

Rechteckszylinder

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Lässt sich ein Element der σ-Algebra   als kartesisches Produkt von Mengen aus den σ-Algebren   auf   schreiben, also

 ,

so nennt man   einen Rechteckszylinder mit Basis  . Man definiert dann

 

als Mengensystem aller Rechteckszylinder.

Eigenschaften

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Definiert man das Mengensystem

 ,

so ist dies ein Erzeuger der Produkt-σ-Algebra der  , es ist also

 .

Ebenso ist das Mengensystem, das bei der Vereinigung aller endlichen Rechteckszylinder entsteht,

 

ein Erzeuger der Produkt-σ-Algebra der  , es ist also

 .

Siehe auch

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Literatur

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