Quadratwurzel aus 3

Quadratwurzel aus 3

Die Quadratwurzel aus 3 oder Quadratwurzel von 3 (geschrieben ) ist die positive, reelle Zahl, die mit sich selbst multipliziert 3 ergibt. Die Wurzel von 3 ist eine irrationale Zahl. Sie ist eine mathematische Konstante, auch bekannt unter dem Namen Theodorus-Konstante, benannt nach Theodoros von Kyrene.

Wurzel 3 als Länge der Diagonale eines Würfels
Wurzel 3 als Länge der Diagonale eines Würfels
Wurzel 3 als Länge der Höhe eines gleichseitigen Dreiecks
Wurzel 3 als Länge der Höhe eines gleichseitigen Dreiecks
Wurzel 3 im Koordinatensystem

Näherungsweise gilt:

Ihre Kettenbruchentwicklung ist [1;1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,…].

Es ist auch und

Beweis der Irrationalität

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Angenommen,   wäre rational. Dann könnte man die Zahl als Bruch zweier teilerfremder ganzer Zahlen   und   schreiben:

 .

Durch Quadrieren der Gleichung erhält man

 

daraus folgt

 

Aber dann ist für eine ganze Zahl  

 

weil   eine ganze Zahl ist und damit   eine ganze Zahl sein muss und damit auch 3 als Teiler von   existieren muss.

Daraus folgt wieder

 ,

also

 

Aber dann ist auch für eine ganze Zahl  

 ,

was einen Widerspruch bedeutet, weil   und   teilerfremd sind.

Nachkommastellen

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Die ersten 100 Nachkommastellen:

1,7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 1690880003 7081146186 7572485756[1]

Weitere Dezimalstellen finden sich auch unter Folge A002194 in OEIS.

Der derzeitige Weltrekord der Berechnung der Nachkommastellen (vom 9. Juni 2019) liegt bei 2.000.000.000.000 und wurde von Hiroyuki Oodaira (大平 寛之) erzielt.[2]

Anwendung

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Das Verhältnis der Seitenlängen a und r dieses Rechtecks im Kreis ist  
 
Konstruktion in vier Schritten; die gepunktete Linie ist nicht Teil der Konstruktion.
  • Ein rechtwinkliges Dreieck mit einer kleinen Kathete gleich   und einer Hypotenuse gleich   hat, nach dem Satz des Pythagoras, eine große Kathete gleich  .
  • Das Verhältnis zwischen der Diagonale eines dreidimensionalen Würfels und der Kantenlänge beträgt  
  • Die Distanz zwischen zwei gegenüberliegenden Seiten eines regulären Sechsecks mit der Seitenlänge a beträgt  , oder anders gesagt, das Doppelte des Inkreisradius  
  • Der Verkettungsfaktor, das Verhältnis von Phasenspannung (230 V) zu Außenleiterspannung (400 V), beträgt bei Dreiphasenwechselstrom  
  • Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge a beträgt  , sein Flächeninhalt  
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Einzelnachweise

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  1. The square root of 3 to 100,000 places (Memento vom 29. September 2007 im Internet Archive) von Owen O’Malley (englisch)
  2. Records set by y-cruncher. Abgerufen am 12. August 2019.