Q-invariante Verteilungsklasse

Verteilungsklasse in der mathematischen Statistik

Eine Q-invariante Verteilungsklasse ist eine spezielle Verteilungsklasse in der mathematischen Statistik, die sich dadurch auszeichnet, dass die in ihr enthaltenen Wahrscheinlichkeitsmaße abgeschlossen sind bezüglich der Bildung von gewissen Bildmaßen. Spezialfall einer Q-invarianten Verteilungsklasse sind die Lokationsklassen und die Skalenfamilien.

Anwendung finden Q-invariante Verteilungsklassen beispielsweise bei der Untersuchung von äquivarianten Schätzern.

Definition

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Sei   eine Gruppe (bezüglich der Verkettung von Funktionen  ) von messbaren Funktionen von   nach  .

Sei   eine Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf   und   das Bildmaß des Wahrscheinlichkeitsmaßes   unter der Funktion  .

Dann heißt   eine Q-invariante Verteilungsklasse, wenn für jedes   und jedes   gilt, dass

 

ist.

Beispiele

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Lokationsklassen

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Wählt man   und als Gruppe die Gruppe der Translationen auf  , also

 ,

so wäre eine Lokationsklasse eine Q-invariante Verteilungsklasse, denn die Lokationsklassen entstehen genau aus der Verschiebung eines Wahrscheinlichkeitsmaßes entlang der x-Achse.

Umgekehrt ist aber nicht jede Q-invariante Verteilungsklasse mit dem oben definierten   eine Lokationsklasse. Die Q-invariante Verteilungsklasse könnte beispielsweise aus zwei oder mehr unterschiedlichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Verschiebung hervorgegangen sein, was bei Lokationsklassen nicht möglich ist, denn diese sind immer Verschiebungen eines Maßes. Vereinigungen Q-invarianter Verteilungsklassen sind offenbar wieder Q-invariant, für Lokationsklassen gilt das nicht.

Skalenfamilien

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Wählt man  , aber als Gruppe die Gruppe der Multiplikationen mit  , also

 ,

dann ist für ein vorgegebenes Wahrscheinlichkeitsmaß   auf   die Menge

 

eine Q-invariante Verteilungsklasse, die sogenannte von dem Wahrscheinlichkeitsmaß   erzeugte Skalenfamilie.

Literatur

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