In der kommutativen Algebra ist ein primäres Ideal oder Primärideal eine Verallgemeinerung einer Primzahlpotenz, genau wie ein Primideal eine Verallgemeinerung einer Primzahl ist. Primäre Ideale spielen eine wichtige Rolle in der Primärzerlegung von Moduln.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Definitionen

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Primärer Modul

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Ein Untermodul   eines Moduls   über einem Ring   ist ein primärer Untermodul, wenn   nur ein assoziiertes Primideal besitzt. Das ist äquivalent damit, dass für alle   die Abbildung:

 
 

entweder injektiv oder nilpotent ist.

Ist   das assoziierte Primideal, so wird   auch als  -primärer Untermodul bezeichnet.

Primäres Ideal

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Ein Ideal   eines Ringes   ist ein primäres Ideal, wenn es als Untermodul von   ein primärer Untermodul ist. Das ist äquivalent dazu, dass jeder Nullteiler von   nilpotent ist.

Durch Elemente aus   ausgedrückt bedeutet das: Ein Ideal   is primär, wenn  .

Eigenschaften

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Ist   ein  -Modul, so gilt:

  • Jedes Primideal ist ein primäres Ideal.
  • Wenn ein Ideal  -primär ist, dann gibt es ein  , sodass   ist.
  • Die Umkehrung des letzten Satzes ist falsch. Ist aber   ein maximales Ideal eines noetherschen Ringes, so ist ein Ideal   genau dann  -primär, wenn es ein   gibt, sodass   ist.
  • Wenn   noethersch ist, so ist der Durchschnitt endlich vieler  -primärer Untermoduln von    -primär.
  • Wenn   noethersch ist und   ein irreduzibler echter Untermodul von   ist, dann ist   primär.

Literatur

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  • Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley (1969), ISBN 0-2010-0361-9
  • Brüske, Ischebeck, Vogel: Kommutative Algebra, Bibliographisches Institut (1989), ISBN 978-3411140411
  • Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6