Pfeilschreibweise

Methode, um sehr große Zahlen zu schreiben

In der Mathematik ist die Pfeilschreibweise eine Methode, die Donald Ervin Knuth 1976 entwickelte, um sehr große Zahlen zu schreiben. Sie ist eng verwandt mit der Ackermannfunktion. Die Idee basiert auf wiederholter Exponentiation, ebenso wie Exponentiation eine wiederholte Multiplikation ist und die Multiplikation eine wiederholte Addition ist.

EinführungBearbeiten

Die Multiplikation einer natürlichen Zahl kann als wiederholte Addition definiert werden:

 

Zum Beispiel:

 

Eine natürliche Zahl als Exponent   kann als wiederholte Multiplikation definiert werden:

 

Zum Beispiel:

 

Dies inspirierte Knuth dazu, einen „Doppelpfeil“-Operator für wiederholte Exponenten zu definieren:

 

Zum Beispiel:

 

Dieser Operator ist rechtsassoziativ, das heißt, er wird von rechts nach links ausgewertet.

Nach dieser Definition ist

 
 
  (diese Zahl vollständig auszuschreiben, würde ungefähr 1,37 Terabyte Speicherplatz belegen, nämlich   bits)
 
usw.

Dies führt bereits zu einigen sehr großen Zahlen, aber Knuth erweiterte seine Notation noch. Er führte einen „Dreifachpfeiloperator“ ein, um wiederholte Anwendung des „Doppelpfeils“ darzustellen:

 

gefolgt von einem „Vierfachpfeiloperator“:

 

und so weiter. Die allgemeine Regel dazu lautet, dass ein  -fach-Pfeiloperator zu einer  -fachen Wiederholung eines  -fachen Pfeiloperators wird:

 

Beispiele:

 

 

NotationBearbeiten

In Ausdrücken wie   wird in der Schreibweise der Exponent   für gewöhnlich hochgestellt gegenüber der Basis  . Allerdings lassen viele Umgebungen — beispielsweise Programmiersprachen und Klartexte wie E-Mail — solche zweidimensionalen Layouts nicht zu. Man hat sich hier mit der Notation   beholfen. Der Pfeil soll als 'Erhöhung des Exponenten' gelesen werden. Lässt die Umgebung keinen Pfeil zu, wird stattdessen der Zirkumflex ^ genutzt.

Die hochgestellte Schreibweise   bietet sich nicht zu einer Verallgemeinerung an. Deshalb hat Knuth die Pfeilnotation gewählt, die stattdessen in einer Zeile geschrieben werden kann.

In manchen Programmiersprachen wird das Zeichen ^ für einen anderen Operator verwendet, beispielsweise in Python für XOR. Hier wird ** zuweilen als Alternative zum   genutzt, wie dies auch in der Very High Speed Integrated Circuit Hardware Description Language (VHDL) und Fortran der Fall ist. Dabei kommt hier ebenfalls die wiederholte Schreibung zum Einsatz, die eine wiederholte Anwendung des einzelnen Operators bedeuten soll. Es wäre also möglich, *** als Äquivalent zum Doppelpfeil   zu nutzen, dies ist allerdings nicht gebräuchlich.

DefinitionBearbeiten

Die Pfeilnotation wird formal definiert durch

 

für alle natürlichen Zahlen   für die gilt  .

  bedeutet hier   nebeneinander stehende Pfeile (z. B.  ).

Alle Pfeiloperatoren (normale Exponentenschreibweise wird hierbei als   angesehen) sind rechtsassoziative Operatoren, das heißt bei mehreren Operatoren wird der Ausdruck von rechts nach links ausgewertet. Zum Beispiel gilt allgemein:  , nicht  ; zum Beispiel
  ist   nicht  

Für diese Rechtsassoziativität gibt es einen guten Grund. Würden wir von links nach rechts auswerten, dann würde   dasselbe ergeben wie  , so dass   keinen neuen Operator ergeben würde. Siehe hierzu auch Potenzturm.

Die Definition kann auf wenige ganze Zahlen   erweitert werden. So kann man zum Beispiel  ,   und   setzen. Vorsicht ist jedoch mit der Wahl der Anfangsbedingung für   geboten, denn es gilt dann (anders als für größere  ):   und  .

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Donald E. Knuth: Coping With Finiteness. In: Science. Band 194, Nr. 4271, Dezember 1976, S. 1235–1236.
  • Guido Walz (Red.): Pfeilnotation. In: Lexikon der Mathematik. 4. Moo bis Sch. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2002, ISBN 3-8274-0436-3.