Padé-Approximation

mathematische Näherung einer Funktion durch rationale Funktionen
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Die Padé-Approximation bezeichnet in der Mathematik die beste Approximation einer Funktion durch rationale Funktionen.

Die Padé-Approximation ist benannt nach dem französischen Mathematiker Henri Padé, der sie 1892 bekannt machte,[1] wobei allerdings der deutsche Mathematiker Georg Frobenius bereits 1881 seine diesbezüglichen Untersuchungen über die rationale Approximation von Potenzreihen veröffentlichte.[2][3]

Die Padé-Approximation führt oft zu besseren Ergebnissen als die Approximation mittels Taylorreihen. Manchmal erhält man auch dann Approximationen, wenn die Taylorreihe nicht konvergiert. Daher wird sie häufig in Computerberechnungen verwendet. Auch im Gebiet der Diophantischen Approximation ist sie nützlich.

Definition

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Sei   eine Funktion und  ,   natürliche Zahlen, dann ist die Padé-Approximation der Ordnung   die rationale Funktion

 ,

welche mit   in der höchstmöglichen Ordnung übereinstimmt, woraus folgt:

 

Eine äquivalente Definition lautet: Entwickelt man   in eine Maclaurinsche Reihe, d. h. in eine Taylorreihe um den Punkt 0, dann stimmen die ersten   Terme von   und   überein. Daraus folgt für den Approximationsfehler

 

Für jedes vorgegebene   und   ist die Padé-Approximation eindeutig, d. h. die Koeffizienten   sind eindeutig aus den Koeffizienten   der taylorartigen Reihe bestimmbar.

Im Nenner von   wurde der Anfangsterm ohne Beschränkung der Allgemeinheit   gewählt. Andernfalls erhält man durch geeignetes Kürzen die genannte Form.

Die Padé-Approximation wird auch dargestellt als

 

Berechnung

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Zu einem gegebenen   kann man die Padé-Approximation nach dem sogenannten „Epsilon-Verfahren“ des belgischen Mathematikers Peter Wynn,[4] oder auch anderer Folgentransformationen[5] berechnen. Dabei verwendet man die Teilsummen

 

der Taylorreihe von  ; die   sind also gemäß

 

durch   bestimmt.

Bei der Funktion   kann es sich auch um eine formale Potenzreihe handeln, so dass Padé-Approximationen auch auf die Summierung divergenter Reihen angewandt werden können.

Zur Berechnung der Padé-Approximation kann man den erweiterten euklidischen Algorithmus für den größten gemeinsamen Polynomteiler anwenden.[6] Die Beziehung

 

ist äquivalent zur Existenz eines Faktors   derart, dass

 .

Dies lässt sich als die Bézout-Gleichung eines Schrittes der Berechnung des größten gemeinsamen Polynomteilers interpretieren:

  und  .

Für die  -Approximation wendet man den erweiterten euklidischen Algorithmus an für

 

und stoppt, wenn   vom Grade kleiner gleich   ist. Dann stellt der Quotient der Polynome   die  -Padé-Approximation   dar.

Riemann–Padé Zeta-Funktion

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Zur Untersuchung von divergenten Reihen, etwa

 

kann es hilfreich sein, die Padé- oder rationale Zeta-Funktion einzuführen:

 ,

wobei

 

die Padé-Approximation der Ordnung   der Funktion   ist. Der Wert für   ist die Summe der divergenten Reihen. Die Funktionsgleichung für diese Zeta-Funktion lautet:

 

wobei   und   die Koeffizienten der Padé-Approximation sind. Der Index 0 steht für die Padé-Approximation der Ordnung [0/0] und ergibt so die Riemannsche ζ-Funktion.

DLog-Padé Methode

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Mit Padé-Approximationen können kritische Punkte und Exponenten einer Funktion ermittelt werden. In der Thermodynamik heißt   kritischer Punkt und   der zugehörige kritische Exponent von  , wenn sich die Funktion   in der Nähe eines Punktes   wie   nicht-analytisch verhält. Sind hinreichend viele Terme der Reihenentwicklung von   bekannt, dann ergeben sich näherungsweise die kritischen Punkte und die kritischen Exponenten aus den Polen und Residuen der Padé-Approximationen   mit  .

Verallgemeinerungen

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Eine Padé-Approximation approximiert eine Funktion in einer Variablen. Eine Approximation in zwei Variablen heißt Chisholm-Approximation, in mehr als zwei Variablen Canterbury-Approximation (benannt nach Graves-Morris an der University of Kent).

Literatur

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  • G. A. Baker, Jr., P. Graves-Morris: Padé Approximants. Cambridge U.P., 1996, ISBN 0-521-45007-1.
  • C. Brezinski, M. Redivo Zaglia: Extrapolation Methods. Theory and Practice. North-Holland, 1991, ISBN 0-444-88814-4.
  • W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery: Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing. 3. Auflage. Cambridge University Press, New York 2007, ISBN 978-0-521-88068-8, Section 5.12 Padé Approximants. (apps.nrbook.com)
  • W. B. Gragg: The Pade Table and Its Relation to Certain Algorithms of Numerical Analysis. In: SIAM Review. Vol. 14, No. 1, 1972, S. 1–62.
  • P. Wynn: Upon systems of recursions which obtain among the quotients of the Padé table. In: Numerische Mathematik. 8 (3), 1966, S. 264–269.
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Einzelnachweise

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  1. Henri Padé: Sur la représentation approchée d'une fonction par des fractions rationalles. In: Annales Scientifiques de l'Êcole Normale Supérieure. Volume 9 supplement, 1892, S. 1–93.
  2. Georg Frobenius: Ueber Relationen zwischen den Näherungsbrüchen von Potenzreihen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Volume 90, 1881, S. 1–17. (online, abgerufen am 3. Juni 2014)
  3. Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory. McGraw-Hill Book Company, 1966, ISBN 0-07-010757-2, S. 231.
  4. Peter Wynn: On the Convergence and Stability of the Epsilon Algorithm. In: SIAM Journal on Numerical Analysis. Volume 3 (1), März 1966, S. 91–122 Theorem 1.
  5. C. Brezenski: Extrapolation algorithms and Padé approximations. In: Applied Numerical Mathematics. Volume 20 (3), 1996, S. 299–318.
  6. Dario Bini, Victor Pan: Polynomial and Matrix computations. Volume 1: Fundamental Algorithms. (= Progress in theoretical computer science. 12). Birkhäuser, 1994, ISBN 0-8176-3786-9, S. 46, Problem 5.2b und Algorithmus 5.2.