Komplement (Verbandstheorie)

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Komplementäre Elemente

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In einem beschränkten Verband nennt man ein Element   ein Komplement von  , wenn

  und  

gilt.

Ein beschränkter Verband, in dem jedes Element (mindestens) ein Komplement hat, heißt komplementärer Verband.

Im Allgemeinen kann es zu einem Element mehrere komplementäre Elemente geben. Ist das Komplement von   eindeutig, dann werden verschiedene Bezeichnungen verwendet: bei Teilmengenverbänden ist   üblich, bei Anwendungen in der Logik  , bei Schaltalgebren  .
Es gilt

 .

In einem distributiven beschränkten Verband kann jedes Element höchstens ein Komplement haben[1]
Falls   ein Komplement   hat, dann hat auch   ein Komplement, nämlich

 .

Ein distributiver komplementärer Verband heißt boolescher Verband oder boolesche Algebra.

Relative Komplemente

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Der nicht-modulare Verband   ist komplementär:   und   sind beide Komplemente von  .
Er ist nicht relativ-komplementär, denn im Intervall   hat   kein Komplement.

Sind   Elemente eines Verbandes, dann heißt die Menge   das durch a und b bestimmte Intervall.
Die Definition stimmt auf geordneten Mengen mit der eines abgeschlossenen Intervalls überein und es wird die gleiche Notation   verwendet.[2]

Sind  , dann heißt   relatives Komplement von   bezüglich  , wenn

  und   gilt.

Auch hier gilt, dass es in   mehrere zu   komplementäre Elemente geben kann und dass aus dem Distributivgesetz die Eindeutigkeit folgt.

Ein Verband heißt relativkomplementär, wenn es in jedem Intervall zu jedem Element ein relatives Komplement gibt.

Ein relativkomplementärer Verband ist ein komplementärer Verband genau dann, wenn er beschränkt ist. Umgekehrt muss ein komplementärer Verband nicht relativkomplementär sein. Jedoch ist ein modularer komplementärer Verband relativkomplementär.[3]

Relative Komplemente können zur Charakterisierung von distributiven Verbänden dienen. Ein Verband ist genau dann distributiv, wenn jedes Element in jedem Intervall höchstens ein relatives Komplement besitzt.[4]

Pseudokomplemente

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Regeln für Pseudokomplemente:   und   können vorkommen

Sind   zwei Elemente eines Verbandes, dann nennt man ein größtes Element  , für das   gilt, ein relatives Pseudokomplement von   bezüglich  .

Ein relatives Pseudokomplement von   bezüglich   heißt Pseudokomplement von  .

Ein Verband, in dem für jedes Element   ein Pseudokomplement existiert, heißt pseudokomplementärer Verband.

Die Bezeichnung für Pseudokomplemente ist nicht einheitlich.[5]

Eigenschaften

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Wenn (relative) Pseudokomplemente existieren, dann sind sie eindeutig bestimmt.

In einem distributiven Verband bildet   ein Ideal. Daher ist die Existenz von Pseudokomplementen in endlichen distributivenVerbänden gesichert. Die Distributivität ist wesentlich:   ist nicht pseudokomplementär.

Für Pseudokomplemente muss nicht   gelten, auch wenn der Verband distributiv ist. Es ist aber immer

  und  

Für Pseudokomplemente gilt eins der De Morganschen Gesetzen:

 

Für die duale Form gilt lediglich:

 [6]

Ein distributiver relativ-komplementärer Verband heißt Heyting-Algebra.

Orthokomplemente

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In einem Verband wird eine Funktion   als Orthogonalisierung bezeichnet, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt:

  •   und  
  •  
  •  ,

Der Verband (mit dieser Abbildung) wird als orthokomplementärer Verband bezeichnet.   heißt Orthokomplement von   (zu dieser Orthogonalisierung).[7]

Wenn   ein distributiver komplementärer Verband ist, dann ist das Komplement von   auch sein einzig mögliches Orthokomplement. Im Allgemeinen kann man aber auch in einem distributiven Verband mehrere verschiedene Orthogonalisierungen haben.

Beispiele zu Orthokomplementen

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  • Ist   ein euklidischer Vektorraum und   ein Untervektorraum, dann bilden die zu   orthogonalen Vektoren einen Vektorraum   .   und   sind Orthokomplemente im (modularen) Verband der Unterräume von  .
  • Das Beispiel der euklidischen Vektorräume kann zu beliebigen Vektorräumen mit einem inneren Produkt verallgemeinert werden. Verschiedene innere Produkte liefern dabei i. A. verschiedene Orthokomplemente im Verband der Unterräume von  .

Dies sind typische Beispiele, die auch zur Namensgebung führten.

Beispiele für Orthokomplemente
Dieser Verband lässt 3 verschiedene Orthogonalisierungen zu.
 : Das normale Komplement   ist jeweils das einzig mögliche Orthokomplement.
Für diesen Verband gibt es genau eine Orthogonalisierung.
Es gibt keine Orthogonalisierung für  .

Literatur

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  • Gericke Helmuth: Theorie der Verbände. 2. Auflage. BI, Mannheim 1967.
  • Grätzer George: Lattice Theory. First concepts and distributive lattices. W.H.Freeman and Company, 1971, ISBN 978-0-486-47173-0.

Einzelnachweise

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  1. Dies folgt aus der Kürzungsregel
  2. G. Grätzer, Lattice theory, S. 20. In H. Gericke, Theorie der Verbände, S. 72 wird abweichend die Bezeichnung   eingeführt.
  3. G. Grätzer, Lattice theory, S. 96.
  4. Die Beweisidee ist, dass in   und   jeweils die Kürzungsregel nicht gilt, vgl. H.Gericke, Theorie der Verbände, S. 113f
  5. G. Grätzer verwendet a* für das Pseudokomplement und a * b für das relative Pseudokomplement (G. Grätzer, Lattice Theory: Foundation, p 99). Gericke verwendet ein gespiegeltes  -Symbol für die Bezeichnung. (H. Gericke, Theorie der Verbände, S. 119) Auch   oder   kommen vor.
  6. H. Gericke, Theorie der Verbände, S. 120 f. Wegen dieser Eigenschaften können Pseudokomplemente zur Modellierung der intuitionistischen Logik verwendet werden.
  7. H. Gericke, Theorie der Verbände, S. 106; für die Funktion wird hier jedoch eine deutlichere Bezeichnung verwendet