Optisches Theorem

physikalisches Gesetz

Das optische Theorem, im Rahmen der Quantenmechanik auch Bohr-Peierls-Placzek-Theorem oder -Beziehung genannt (nach Niels Bohr, Rudolf Peierls und George Placzek)[1], bringt in der Streutheorie den Imaginärteil der Streuamplitude mit dem totalen Wirkungsquerschnitt in Zusammenhang. Das optische Theorem ist ein Resultat der Wellenoptik beziehungsweise der klassischen Elektrodynamik, wo es auf der Erhaltung der Energie gestreuter elektromagnetischer Wellen aufbaut. Später wurde in der quantenmechanischen Wellenmechanik basierend auf der Erhaltung der Wahrscheinlichkeit ein analoges Ergebnis für die Streuung von Materiewellen und in der Quantenfeldtheorie eine Verallgemeinerung des optischen Theorems für Quantenfelder gefunden.

In seiner ursprünglichen Formulierung lautet das optische Theorem:

mit

  • : Kreiswellenzahl
  • : Streuamplitude bei Streuwinkel .

Klassische ElektrodynamikBearbeiten

Licht, beziehungsweise eine allgemeine elektromagnetische Welle, mit elektrischer Feldstärke   und magnetischer Flussdichte   kann von einem Objekt mit endlicher Ausdehnung sowohl gestreut als auch absorbiert oder transmittiert werden. Die gesamten Felder setzen sich also zusammen aus den einfallenden Feldern   und den gestreuten oder transmittierten Feldern  . Die Leistungsdichte des Felds wird durch den Poynting-Vektor   mit der Vakuumpermeabilität   beschrieben. Die absorbierte Leistung der elektromagnetischen Welle ergibt sich als Flächenintegral des Poynting-Vektors der Gesamtfelder über die (nach innen gerichtete) Oberfläche des Streuers; die gestreute Leistung als Integral der gestreuten Felder über die (nach außen gerichtete) Oberfläche:

 

Mit der Zerlegung des elektrischen Felds in ebene Wellen

 ,

wobei   der Polarisationsvektor in Schwingungsrichtung,   der Wellenvektor in Ausbreitungsrichtung und   die Amplitude des Felds sind sowie der Beziehung

 ,

da elektrisches Feld, magnetische Flussdichte und Wellenvektor im Vakuum paarweise senkrecht aufeinander stehen, führt dies zu:

 

(  ist der Flächennormalenvektor,  ).

Andererseits ist die Streuamplitude   für ein elektromagnetisches Feld mit Polarisationsvektor  :

 

Aus dem Vergleich dieser beiden Ausdrücke sieht man, dass

 

sein muss. Mit der Definition des Streuquerschnitts als Leistung normiert auf die einfallende Leistung

 

folgt das optische Theorem.[2]

QuantenfeldtheorieBearbeiten

In der Quantenfeldtheorie ist das optische Theorem ein exaktes Resultat, das nicht auf störungstheoretischen Näherungen basiert. In der Störungstheorie führt das optische Theorem zu einer Beziehung zwischen Schleifen-Diagrammen und Streuquerschnitten in führender Ordnung.

Sei   das Matrixelement eines Prozesses  , dann gilt[3]

 

mit der Summe über alle möglichen physikalischen (Mehrteilchen-)Zustände   und dem lorentzinvarianten Phasenraumintegral über alle Einteilchen-Impulse   im jeweiligen Mehrteilchen-Zustand.

Insbesondere gilt für Zweiteilchen-Zustände  

 

im Schwerpunktssystem mit der Schwerpunktsenergie  , was das optische Theorem der nichtrelativistischen Quantenmechanik zurückgibt.

Für Einteilchen-Zustände  , also für Zerfälle, gilt

 

mit der Masse des zerfallenden Teilchens   und der Zerfallsbreite  .

HerleitungBearbeiten

Das optische Theorem basiert auf der Unitarität der S-Matrix von Quantenfeldtheorien. Sei   der nichttriviale Teil der S-Matrix, also  , dann folgt aus der Unitarität der S-Matrix:

 

Durch Multiplikation von   sowie   ergibt sich die linke Seite der Gleichung mit der Definition des Matrixelements als   zu:

 

Das Einfügen einer Eins in Form von

 

auf der rechten Seite führt zu:

 

Das optische Theorem folgt durch Gleichsetzen.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. vgl. Fußnote 1 in Niels Bohr, Rudolf Peierls und Georg Placzek: Nuclear Reactions in the Continuous Energy Region. In: Nature. Band 144, 1939, S. 200–201, doi:10.1038/144200a0 (englisch). Der angekündigte Artikel in Proceedings of the Copenhagen Academy wurde durch den Ausbruch des 2. Weltkriegs nie publiziert.
  2. John David Jackson: Classical Electrodynamics. 3. Auflage. John Wiley & Sons, Hoboken 1999, ISBN 978-0-471-30932-1, S. 500–502 (englisch).
  3. Matthew D. Schwartz: Quantum Field Theory and the Standard Model. Cambridge University Press, Cambridge 2014, ISBN 978-1-107-03473-0, S. 454 (englisch).

LiteraturBearbeiten

  • Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 5/2: Quantenmechanik – Methoden und Anwendungen, Springer, Berlin, 2006, ISBN 9783540260356, S. 333

WeblinksBearbeiten