Streuamplitude

Streutheorie

Die Streuamplitude ist eine Größe der Streutheorie, die die Richtungsabhängigkeit der Streuwelle beschreibt, wenn eine ebene Welle an einem Streuzentrum gestreut wird. Sie hat die Dimension Länge und verbindet die S-Matrix mit dem Wirkungsquerschnitt.

DefinitionBearbeiten

Die Streuamplitude   ist über den S-Operator   definiert:

 

Dabei sind

  •   der Anfangszustand und   der Endzustand mit definiertem Impuls, also Eigenzustände des Impulsoperators,
  •   die Impulse der Zustände,
  •   die Energie der Zustände,
  •   die Masse (Physik) der Zustände und
  •   die Dirac-Distribution.

AlternativdefinitionBearbeiten

Im Folgenden wird eine alternative Darstellung vorgestellt, die vielfach auch als Definition benutzt wird. In ihr kann die Streuamplitude als Funktion der Energie des eingehenden Zustands sowie des Winkels   zwischen   und   geschrieben werden, da der S-Operator und damit auch die Streuamplitude invariant unter Rotationen sind:

 

Wenn für die eingehende Welle   eine ebene Welle parallel zur z-Achse angenommen wird, ergibt dies:

 

WirkungsquerschnittBearbeiten

Der differenzielle Wirkungsquerschnitt ist gegeben durch:

 

Zum totalen Wirkungsquerschnitt existiert eine Verbindung über das optische Theorem:

 

mit der Wellenzahl   und dem Imaginärteil   der Streuamplitude für den Streuwinkel Null.

PartialwellenentwicklungBearbeiten

In der Partialwellenentwicklung wird die Streuamplitude durch eine Summe über Partialwellen ausgedrückt:

 

wobei

  •   die partielle Streuamplitude
  •   das Legendre-Polynom
  •   der Index für den Drehimpuls ist.

Die partielle Streuamplitude kann durch das S-matrix Element   und die Streuphase   ausgedrückt werden:

 

Es ist zu beachten, dass die partielle Streuamplitude  , das S-matrix Element   und die Streuphase   implizit Funktionen der Streuenergie bzw. des Impulses   sind (hier in Form des Wellenvektors k, wobei gilt  ).

Damit lässt sich der totale Streuquerschnitt ausdrücken als:

 

Die Streulänge   kann mit Hilfe der partiellen Streuamplitude definiert werden:

 

Gewöhnlich wird aber nur die Streulänge   der s-Wellen   als Streulänge bezeichnet.

LiteraturBearbeiten

  • John R. Taylor: Scattering Theory - The Quantum Theory of Nonrelativistic Collisions, 1983.