Mostowski-Kollaps

mathematischer Satz

Der Mostowski-Kollaps (auch: Mostowski’scher Isomorphiesatz) ist ein Satz aus der Mengenlehre, der zuerst 1949 von dem polnischen Mathematiker Andrzej Mostowski formuliert wurde. Er ist vor allem bei der Konstruktion von Modellen ein wichtiges Hilfsmittel.

Definition Bearbeiten

 
Sogenannter Kollaps der ungeraden auf die natürlichen Zahlen

Sei   eine zweistellige wohlfundierte Relation auf einer Klasse  . Über wohlfundierte Rekursion definiere für   den transitiven Kollaps durch:  .

Für die Abbildung   gilt dann:

  •  
  •   ist eine transitive Klasse.

Ist   zusätzlich extensional, das heißt, wenn aus   schon   für alle   folgt, so gilt darüber hinaus:

  •   ist bijektiv
  •  .

  stellt also einen Isomorphismus zwischen den Strukturen   und   dar, und   ist die einzige transitive Menge, die (mit der Relation  ) zu   isomorph ist.

Beispiele Bearbeiten

  • Sei   die Menge der ungeraden Zahlen, und   die übliche Ordnung. Dann ist   wohlfundiert und extensional. Es gilt:   und  . Jede ungerade Zahl wird also auf die kleinste noch freie natürliche Zahl abgebildet. Daher auch der Name Kollaps.
  • Ist   eine Wohlordnung auf  , dann ist   der Ordnungstyp von  , also die eindeutig bestimmte Ordinalzahl, die zu   ordnungsisomorph ist. Der Mostowski-Kollaps kann also als Verallgemeinerung der Ordinalzahldefinition angesehen werden.
  • Sei   eine partielle Ordnung, und   ein Filter. Definiere die (wohlfundierte) Relation   durch:  . Ist   ein abzählbares transitives Modell von ZFC und ist   zusätzlich  -generisch, so definiert der Kollaps von   das Modell  , welches eine fundamentale Rolle in der Forcing-Methode spielt.

Literatur Bearbeiten

  • Mostowski, Andrzey: An undecidable arithmetical statement, Fundamenta Mathematicae 36 (1949).
  • Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.