In der Mengenlehre nennt man eine Menge transitiv, falls

  • aus und immer folgt, dass , in Zeichen:
,

oder äquivalent falls

  • jedes Element von , das eine Menge ist, eine Teilmenge von ist.

Auf ‚echte‘ (d. h. von der Leermenge verschiedene) Urelemente kommt es dabei nicht an.
Analog dazu nennt man eine Klasse transitiv, falls jedes Element von eine Teilmenge von ist.

Beispiele

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  • Eine Ordinalzahl nach der Definition von John von Neumann ist eine transitive Menge mit der Eigenschaft, dass jedes Element wieder transitiv ist.
  • Ein Grothendieck-Universum ist per definitionem eine transitive Menge.
  • Transitive Klassen werden als Modelle für die Mengenlehre selbst verwendet.

Eigenschaften

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  • Eine Menge   ist genau dann transitiv, wenn  , wobei   die Vereinigung aller Elemente von   ist.[1]
  • Falls   transitiv ist, dann ist auch   transitiv.
  • Falls   und   transitive Mengen sind, dann ist auch   transitiv.
  • Allgemein, falls   eine Klasse ist, deren Elemente alle transitive Mengen sind, dann ist   eine transitive Klasse.
  • Eine Menge   ist genau dann transitiv, wenn   eine Teilmenge der Potenzmenge von   ist.
  • Die Potenzmenge einer transitiven Menge ist wieder transitiv. Diese Eigenschaft wird bei der Von-Neumann-Hierarchie verwendet um einzusehen, dass alle Stufen dieser Hierarchie transitiv sind.

Verallgemeinerung

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Sei gegeben eine Menge (oder Klasse)   und eine Relation   darauf.   heißt  -transitiv, wenn gilt:

 .[2]

Im Fall   ergibt sich die obige Definition als Spezialfall.

Anmerkungen

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  1. In diese Vereinigung gehen nur Elemente ein, die Mengen sind, also keine (‚echten‘) Urelemente.
  2. Wolfram Pohlers: Mengenlehre (PDF), Universität Münster, Institut für mathematische Logik und Grundlagenforschung, Vorlesungsskript, SS 1994, Seite 31

Siehe auch

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Literatur

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