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Das klassische Modell des Lorentz-Oszillators (nach Hendrik Antoon Lorentz) beschreibt ein an den Atomrumpf gebundenes Elektron, welches durch ein elektrisches Feld zu harmonischen Oszillationen angeregt wird. Es ist eine Erweiterung des Drude-Modells.

Das Modell wird verwendet, um die frequenzabhängige elektrische Polarisation eines Festkörpers und damit seine dielektrische Funktion mathematisch zu beschreiben. Letztere beschreibt die Frequenzabhängigkeit (Dispersion)

der Permittivität und die damit zusammenhängenden Resonanzen, sie ist von großer Bedeutung für die optischen Eigenschaften eines Stoffes.

Inhaltsverzeichnis

Mathematische ModellierungBearbeiten

 
Elektronen sind analog zu verschieden starken Federn (Anisotropie) an den Atomkern gebunden

Die Dynamik von Elektronen, Ionen oder permanenten Dipolen in einem Festkörper kann vereinfacht durch einen gedämpften harmonischen Oszillator beschrieben werden. Die folgende Bewegungsgleichung sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit für Elektronen aufgestellt. Für Ionen und permanente Dipole lassen sich analoge Gleichungen aufstellen. Modellhaft kann man sich vorstellen, die Elektronen in der Atomhülle seien im Lorentzmodell mit Federn am Atomkern befestigt. Haben die Federn aller Elektronen die gleiche Federkonstante entspräche das einem isotropen Medium. Als periodische Antriebskraft geht die Wechselwirkung mit einem monochromatischen elektromagnetischen Wechselfeld, z. B. Licht, Radio- oder Mikrowellen, ein:

 

wobei

  •  : Masse des Elektrons
  •  : Auslenkung des Elektrons aus der Ruhelage
  •  : Zeit
  •  : Dämpfung
  •  : Kreisfrequenz des treibenden Feldes
  •  : Eigenfrequenz des ungedämpften harmonischen Oszillators
  •  : Elementarladung
  •  : lokale Amplitude des treibenden elektromagnetischen Wechselfeldes

Die stationäre Lösung dieser Bewegungsgleichung lautet:

 

AnwendungBearbeiten

Atomares DipolmomentBearbeiten

Das atomare Dipolmoment ist definiert als  , wobei   vom Elektron zum Kern zeigt, sodass sich dieses zu

 

ergibt.

Dielektrische FunktionBearbeiten

 
Real- und Imaginärteil der dielektrischen Funktion in Abhängigkeit von der Kreisfrequenz des treibenden Feldes
 
Real- und Imaginärteil der dielektrischen Funktion im visuellen Bereich für einen Halbleiter (Silicium) mit Bandübergängen in diesem Bereich; im Gegensatz zum oberen Bild ist hier als horiz. Achse die Wellenlänge   aufgetragen

Mittels des Zusammenhangs zwischen dielektrischer Funktion   und der Polarisierbarkeit  :

 

erhält man:  

mit

  •  : Gitteratome pro Volumen (Teilchenzahldichte)
  •  : imaginäre Einheit
  •  : verschobene Resonanzfrequenz.

Die dielektrische Funktion lässt sich wie folgt in Realteil   und Imaginärteil   trennen:

 

mit

 

und

 .

StreuquerschnittBearbeiten

Der differentielle Wirkungsquerschnitt folgt aus der Larmor-Formel zu

 

mit dem Winkel zwischen Beobachter und Dipol   und dem Raumwinkel  . Durch Integration über den Raumwinkel ergibt sich der totale Wirkungsquerschnitt:

 

Aus dieser Formel ergibt sich mit den Grenzfällen   die Rayleigh-Streuung, für   die Resonanzfluoreszenz und für   die Thomson-Streuung.

BemerkungenBearbeiten

  • Die Frequenzabhängigkeit der dielektrischen Funktion, des Brechungsindex sowie des Absorptionskoeffizienten werden im Wesentlichen korrekt wiedergegeben.
  • Reale Materialien weisen stets mehr als nur eine Resonanzfrequenz auf, da mehrere elektronische Übergänge existieren; jeder von ihnen liefert gemäß seiner Oszillatorstärke einen Beitrag zur elektronischen Polarisierbarkeit
  • Bei Festkörpern spielt die Aufspaltung in Energiebänder (Bandstruktur) eine wichtige Rolle bezüglich der möglichen Übergänge.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • K. Kopitzki: Einführung in die Festkörperphysik, Teubner Studienbücher 1993, ISBN 3-519-23083-6