Liouville-Funktion

mathematische Funktion

Die Liouville-Funktion, benannt nach Joseph Liouville, ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion. Sie wird mit dem griechischen Buchstaben bezeichnet und ist wie folgt definiert:

dabei bezeichnet die Ordnung von , also die Anzahl seiner (nicht notwendigerweise verschiedenen) Primfaktoren.

Man definiert außerdem und .

Die ersten Werte (beginnend bei ) sind

1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, … (OEIS,A008836[1])[2]

EigenschaftenBearbeiten

Es gilt[3]

 

Die Liouville-Funktion ist verwandt mit der Möbius-Funktion   durch[4]

 

ReihenBearbeiten

Die Dirichlet-Reihe der Liouville-Funktion lässt sich durch die riemannschen Zeta-Funktion   ausdrücken:[5]

 

Ihre Lambert-Reihe ist gegeben durch

 

wobei   die Jacobische Theta-Funktion bezeichnet.

SummenBearbeiten

 
Graph von   bis n=10.000
 
Graph von   bis  

Es sei

 

Die Pólya-Vermutung besagt, es sei – wie die Grafiken rechts vermuten lassen – stets[6]

 

Diese Vermutung wurde mittlerweile widerlegt; das kleinste Gegenbeispiel ist  . Es ist bisher allerdings nicht bekannt, ob   sein Vorzeichen unendlich oft wechselt.

Eine verwandte Summe ist

 

Für diese wurde vermutet, sie sei für hinreichend große   stets positiv; dies wurde 1958 von dem englischen Mathematiker Colin Brian Haselgrove widerlegt, wobei er zeigte, dass   unendlich oft negative Werte annimmt.[7] Ein Beweis der Vermutung hätte die Richtigkeit der riemannschen Vermutung zur Folge gehabt.[8]

Chowla-VermutungBearbeiten

Eine Vermutung von Sarvadaman Chowla[9] besagt, dass für   verschiedene natürliche Zahlen   gilt:

 

(das heißt die Summe verschwindet asymptotisch mit  , siehe Landau-Symbole). Die Vermutung ist offen für  . Fortschritte erzielten 2015 Kaisa Matomäki, Maksym Radziwill und Terence Tao in Bezug auf eine gemittelte Version der Vermutung.[10] Die Vermutung lässt sich auch für die Möbiusfunktion statt der Liouvillefunktion formulieren.

Eine andere Formulierung der Vermutung ist, dass das Muster der Werte von   für eine zufällig gewählte natürliche Zahl   und beliebige   asymptotisch für   gleichverteilt ist.[11]

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. A008836 Liouville's function lambda(n) = (-1)^k, where k is number of primes dividing n (counted with multiplicity). (englisch) The OEIS Foundation. Abgerufen am 16. Juli 2019.
  2. Vgl. Folgen A026424 und A028260.
  3. Kimberly Lloyd: Liouville function. Auf: PlanetMath.org. (englisch)
  4. A. F. Lavrik: Liouville function. In: Online Encyclopedia of Mathematics. (englisch)
  5. Russell Sherman Lehman: On Liouville's Function. (PDF; 824 kB) In: Mathematics of Compution ⟨American Mathematical Society⟩ 14 (1960), Nr. 72, S. 311–320.
  6. Eric W. Weisstein: Polya Conjecture. In: MathWorld (englisch).
  7. Colin Brian Haselgrove: A disproof of a conjecture of Polya. In: Mathematika ⟨London Mathematical Society⟩ 5 (1958), Nr. 2, S. 141–145.
  8. Hisanobu Shinya: On an arithmetical approach to the Riemann hypothesis. In: arxiv:0906.4155 (23. Juni 2009).
  9. Sarvadaman Chowla: The Riemann Hypothesis and Hilbert´s tenth problem, Gordon and Breach 1965
  10. K. Matomäki, M. Radziwill, Terence Tao: An averaged form of Chowla´s conjecture, Algebra & Number Theory, Band 9, 2015, S. 2167–2196, Arxiv
  11. Sign patterns of Liouville and Mobius functions, Blog Terry Tao