Linksendliche Menge

Eine linksendliche Menge ist eine Teilmenge der rationalen Zahlen, die für jedes $k\in \mathbb {Q}$ nur endlich viele Elemente $x$ mit $x<k$ enthält. Linksendliche Mengen werden zur Definition des Levi-Civita-Körpers benötigt.

Definition

Eine Menge $M\subset \mathbb {Q}$ heißt linksendlich genau dann, wenn $\forall k\in \mathbb {Q} :|\{x\in M:x<k\}|<\infty$ gilt. Dabei bezeichnet $|\cdot |$ die Mächtigkeit einer Menge. Äquivalent dazu: $M$ ist entweder endlich oder ordnungsisomorph zu den natürlichen Zahlen.

Beispiele

• Jede endliche Menge ist linksendlich.
• die Menge der natürlichen Zahlen ist linksendlich, obwohl sie unendlich viele Elemente enthält.

Gegenbeispiele

• Die Menge der ganzen Zahlen ist nicht linksendlich.

Eigenschaften

• Die Elemente einer linksendlichen Menge können bezüglich ihrer Ordnungsrelation aufsteigend angeordnet werden.
• Jede nicht-leere linksendliche Menge $M$ (d. h. $M$ ist linksendlich und $M\neq \emptyset$) hat ein Minimum.
• Die Vereinigungsmenge und die Schnittmenge von zwei linksendlichen Mengen sind wieder linksendliche Mengen.
• Eine Teilmenge einer linksendlichen Menge ist auch linksendlich.
• Sind $M$ und $N$ zwei linksendliche Mengen, so ist die Menge $M+N:=\{m+n|m\in M,n\in N\}$ auch linksendlich.

Quellen

• Martin Berz: Calculus and Numerics on Levi-Civita Fields. In: Martin Berz, Christian Bischof, George Corliss, Andreas Griewank (Hrsg.): Computational differentiation. Techniques, applications, and tools. Proceedings of the 2nd International Workshop held in Santa Fe, NM, February 12–14, 1996. 1996, ISBN 0-89871-385-4, Kap. 2 (englisch, Online [PDF; abgerufen am 6. Juni 2013]).