Krausz-Partition

Eine Krausz-Partition, benannt nach dem ungarischen Mathematiker József Krausz († 1944), ist in der Graphentheorie eine Menge von Teilgraphen eines Graphen mit den folgenden Eigenschaften:

  • Jedes Element von ist ein vollständiger Graph.
  • Jede Kante ist in genau einem Element von enthalten.
  • Jeder Knoten ist in höchstens zwei Elementen von enthalten.
Der Graph K1,3

Beineke, Krausz, van Rooij und Wilf konnten in den 1960ern zeigen, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

  • ist Kantengraph zu einem Graphen .
  • besitzt eine Krausz-Partition.

Das heißt, es existiert genau dann ein Urbild eines Kantengraphen , wenn Krausz-partitionierbar ist.

Der Graph ist zum Beispiel nicht Krausz-partitionierbar und ist daher auch kein Kantengraph zu einem beliebigen Graphen .

BeispielBearbeiten

Sei   der folgende Graph. Dieser soll wie oben beschrieben in vollständige Teilgraphen mit den gewünschten Eigenschaften partitioniert werden.

 
Ein gegebener Kantengraph

Durch Ausprobieren oder mit dem Algorithmus von Roussopoulos findet man die folgende Partitionierung:

 
Die vollständigen Teilgraphen der Krausz-Partition.

Mit der Krausz-Partition lässt sich wie folgt der zugrundeliegende Urgraph   konstruieren:

  • Die Knotenmenge   ergibt sich aus  , für die gilt:
    •   ist die Menge der vollständigen Teilgraphen der eben ermittelten Krausz-Partition, also  . In diesem Beispiel ist demnach  .
    •   ist die Menge der Knoten aus  , die sich in genau einem der vollständigen Teilgraphen aus   befinden. In diesem Beispiel ist  . Die Knoten   und   liegen jeweils in genau zwei der vollständigen Teilgraphen aus   und sind damit keine Elemente von  .
  • Für die Kantenmenge von   gilt   mit:
    •  , d. h. zwei verschiedene Elemente aus   sind verbunden, wenn sie einen gemeinsamen Knoten in   haben. In unserem Beispiel sind alle   miteinander verbunden.
    •  , d. h. ein Knoten aus   ist mit einem   verbunden, wenn dieser Knoten Teil des vollständigen Teilgraphen   ist. In unserem Beispiel führt das zu den Kanten   und  .

Diese Konstruktion führt zum folgenden Urgraphen:

 
Der zugrundeliegende Urgraph.

LiteraturBearbeiten

  • József Krausz: Démonstration nouvelle d’une théorème de Whitney sur les réseaux. In: Matematikai és Fizikai Lapok. Band 50, 1943, S. 75–85.
  • Lutz Volkmann: Fundamente der Graphentheorie. Springer, Wien / New York 1996, ISBN 3-211-82774-9, S. 182–183.
  • Nicholas D. Roussopoulos: A max {m,n} algorithm for determining the graph H from its line graph G. S. 108–112, doi:10.1016/0020-0190(73)90029-X ([1]).