Eine konische Kombination (manchmal auch Nichtnegativkombination oder konische Linearkombination) und die eng verwandte Positivkombination sind spezielle Linearkombinationen, bei denen alle Koeffizienten nichtnegativ bzw. positiv sind. Sie treten meist im Zusammenhang mit konvexen Kegeln auf.

Definition

Bearbeiten

Gegeben sei ein  -Vektorraum   und  . Dann heißt   eine konische Kombination oder Nichtnegativkombination von  , wenn es   in   gibt, so dass

 

gilt. Sind alle  , so spricht man von einer Positivkombination.

Eine Linearkombination mit nichtnegativen (bzw. positiven) Koeffizienten heißt also Nichtnegativ- (bzw. Positiv-) Kombination.

Eigenschaften

Bearbeiten
 
Die (unendlich ausgedehnte) konische Hülle von zwei Vektoren im  
  • Allgemeiner lassen sich die obigen Begriffe auch für beliebige  -Vektorräume definieren, solange   ein geordneter Körper ist.
  • Jede Konvexkombination ist eine konische Kombination.
  • Die zur konischen Kombination gehörende Hülle wird konische Hülle oder positive Hülle genannt und mit dem Symbol   (manchmal zweideutig auch mit  ) bezeichnet. Sie ordnet jeder Teilmenge eines Vektorraumes den kleinsten konvexen Kegel zu, der diese Teilmenge enthält

Beispiel

Bearbeiten

Das Polynom   ist eine konische Kombination der Monome   mit  . Somit ist es auch eine Positivkombination der Monome. Wählt man hingegen als Monome  , so handelt es sich nur um eine konische Kombination und nicht um eine Positivkombination, da   ist.

Betrachtet man im   die Vektoren

 ,

so lässt sich   auf mehr als eine Art als konische Kombination von   darstellen. Da   und   linear abhängig sind, ist eine mögliche konische Kombination  . Eine zweite Möglichkeit wäre die Kombination  . Beides sind keine Positivkombinationen, da stets einer der Koeffizienten null ist.

Literatur

Bearbeiten