Kommensurator

Der Kommensurator von Untergruppen ist ein Begriff aus der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik.

Definition

Der Kommensurator der Untergruppe $H$ einer Gruppe $G$, bezeichnet mit $\operatorname {comm} _{G}(H)$ oder, falls die Gruppe $G$ aus dem Kontext ersichtlich ist, auch mit $\operatorname {comm} (H)$, ist

$\operatorname {comm} _{G}(H)=\left\{g\in G:gHg^{-1}\cap H{\mbox{ hat endlichen Index in }}H{\mbox{ und }}gHg^{-1}\right\}$.

Der Kommensurator ist eine Untergruppe von $G$.

Beispiele

• Wenn $G$ eine abelsche Gruppe ist, dann ist $\operatorname {comm} _{G}(H)=G$ für jede Untergruppe $H\subset G$.
• Allgemeiner, wenn $H\subset G$ ein Normalteiler ist, dann ist $\operatorname {comm} _{G}(H)=G$.
• Der Kommensurator eines $\mathbb {Z}$-Faktors im freien Produkt $\mathbb {Z} *\mathbb {Z}$ ist $\mathbb {Z}$.
• Allgemeiner, der Kommensurator einer quasikonvexen Untergruppe $H\subset G$ einer hyperbolischen Gruppe $G$ ist $H$.
• Der Kommensurator von $SL(n,\mathbb {Z} )$ in $SL(n,\mathbb {R} )$ ist $SL(n,\mathbb {Q} )$.

Anwendung: Charakterisierung arithmetischer Gitter

Satz (Margulis): Ein irreduzibles Gitter $\Gamma \subset G$ in einer halbeinfachen Lie-Gruppe $G$ ist arithmetisch dann und nur dann, wenn $\Gamma$ unendlichen Index in seinem Kommensurator hat, also wenn $[\operatorname {comm} _{G}(\Gamma ):\Gamma ]=\infty$.

Literatur

• Zimmer, Robert J.: Ergodic theory and semisimple groups. Monographs in Mathematics, 81. Birkhäuser Verlag, Basel, 1984. ISBN 3-7643-3184-4