Koerzitive Funktion

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In der Mathematik wird eine reellwertige Funktion als koerzitiv (oder koerziv) bezeichnet, falls die Funktionswerte gegen positiv unendlich streben, wenn die Norm der Eingabewerte gegen unendlich strebt.

Definition

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Sei   ein normierter Raum und   eine reellwertige Funktion auf  . Die Funktion   heißt koerzitiv, falls für alle Folgen   mit   gilt:

 .

Motivation

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Im Allgemeinen nehmen stetige Funktionen auf nicht-kompakten Mengen kein Minimum oder Maximum an, z. B. realisiert   das Maximum und das Minimum nicht. Diese Funktion ist nach unten und nach oben unbeschränkt und nicht koerzitiv.   ist hingegen koerzitiv und nimmt das Minimum ( ) an.

Folgender Satz macht klar, unter welchen Bedingungen eine koerzitive Funktion ihr Minimum tatsächlich annimmt:

Sei   ein reflexiver Banachraum und   erfülle wenigstens eine der folgenden Bedingungen:

  •   ist schwach halbstetig von unten und koerzitiv
  •   ist stetig, konvex und koerzitiv

Dann nimmt   das Minimum an.

Erweiterung auf Sesquilinearformen

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Eine komplexwertige Sesquilinearform   wird als koerzitiv bezeichnet, falls die Funktion   reellwertig und koerzitiv ist. Diese Eigenschaft findet z. B. im Lemma von Lax-Milgram Anwendung.

Der Begriff darf nicht mit der Koerzitivfeldstärke verwechselt werden.

Literatur

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