Lemma von Lax-Milgram

mathematischer Satz

Das Lemma von Lax-Milgram, auch Satz von Lax-Milgram, ist eine Aussage der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, die nach Peter Lax und Arthur Milgram benannt ist. Diese beiden Mathematiker bewiesen 1954 eine erste Version dieses Lemmas, welches die Aussage des Darstellungssatzes von Fréchet-Riesz auf stetige Sesquilinearformen verallgemeinert. Eine allgemeinere Version des Lemmas wurde von Ivo Babuška bewiesen, weshalb diese Aussage auch als Satz von Babuška–Lax–Milgram bekannt ist. Anwendung finden diese Aussagen in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Mit ihrer Hilfe können Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen über Lösungen von partiellen Differentialgleichungen gemacht werden.

FormulierungBearbeiten

VoraussetzungenBearbeiten

Es sei   ein Hilbertraum über   und es sei   eine Sesquilinearform. Zudem gelte eine der folgenden, äquivalenten Bedingungen:

  •   ist stetig
  • Es gibt ein   mit
     
  •   ist stetig für alle   und   ist stetig für alle  

AussageBearbeiten

Sind die obigen Voraussetzungen erfüllt, dann existiert genau ein stetiger, linearer Operator  , der die Gleichung

 

für alle   erfüllt. Ferner gilt: Die Norm von   ist durch   beschränkt.

Spezialfall: Koerzitive SesquilinearformBearbeiten

Ist die Sesquilinearform   zudem koerzitiv (häufig auch als stark positiv oder elliptisch bezeichnet), d. h. gibt es  , so dass

 

gilt, dann ist   invertierbar mit  .

Anwendung auf elliptische DifferentialgleichungenBearbeiten

Zur Anwendung kommt das Lemma von Lax-Milgram in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Insbesondere lassen sich für lineare Differentialgleichungen Existenz und Eindeutigkeit einer schwachen Lösung zeigen, falls obige Bedingungen erfüllt sind. Dies wird nun am Beispiel einer gleichmäßig elliptischen Differentialgleichung zweiter Ordnung illustriert.

Sei

 

ein gleichmäßig elliptischer Differentialoperator zweiter Ordnung. Das heißt, es gilt   für  ,   mit   und es existiert ein  , so dass das Hauptsymbol für alle   und alle   die Ungleichung

 

erfüllt. Mit Hilfe des Lemmas von Lax-Milgram kann man nun zeigen, dass die schwache Formulierung des Dirichlet-Randproblems

 

genau eine Lösung im Sobolev-Raum   für   und   besitzt. Das heißt, man betrachtet für alle Testfunktionen   die Gleichung

 

Partielle Integration der rechten Seite der Gleichung liefert

 

Setzt man nun

 

so erhält man eine reellwertige Bilinearform, deren Stetigkeit man mit Hilfe der Hölder-Ungleichung zeigen kann. Die Form   ist auch koerzitiv, was aus der Bedingung   folgt. Daher erfüllt die Bilinearform   die Voraussetzungen des Lemmas von Lax-Milgram. Man sucht nun also eine Lösung der Gleichung

 

wobei

 

Da der Ausdruck   linear und stetig ist, also ein Element des Dualraums   ist, kann man den Darstellungssatz von Fréchet-Riesz anwenden und erhält genau ein  , so dass   für alle   gilt. Und aufgrund des Lemmas von Lax-Milgram hat die Gleichung

 

für alle   genau eine Lösung  .

Auf ähnliche Weise kann man auch die Existenz und Eindeutigkeit bei Neumann-Randbedingungen zeigen.

Satz von Babuška–Lax–MilgramBearbeiten

Eine Verallgemeinerung des Lemmas von Lax-Milgram ist der Satz von Babuška–Lax–Milgram. Diese wurde 1971 von Ivo Babuška bewiesen.

Seien   und   zwei Hilberträume und sei   eine stetige Bilinearform. Sei außerdem   schwach koerzitiv, das heißt, es existiert ein  , so dass

 

und

 

gilt. Dann existiert genau ein stetiger, linearer Operator  , der die Gleichung

 

für alle   und   erfüllt und für die Operatornorm gilt die Ungleichung  . Mit anderen Worten existiert genau eine Lösung   für Gleichungen   .

LiteraturBearbeiten