Hopf-Verschlingung

In der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Hopf-Verschlingung (auch Hopf-Link) das einfachste Beispiel einer Verschlingung zweier Kreise.

Hopf-Verschlingung

Hopf-Verschlingung

Hopf-Verschlingung

Die Hopf-Verschlingung ist eine Verschlingung bestehend aus zwei Unknoten (d. h. unverknoteten Kreisen), deren Verschlingungszahl (je nach Orientierung) plus oder minus 1 beträgt.

Ein konkretes Modell sind zum Beispiel die im $\mathbb {R} ^{3}$ durch $(\cos t,\sin t,0)$ und $(\cos t+1,0,\sin t)$ parametrisierten Kreise.

Topologie des Komplements

Das Komplement der Hopf-Verschlingung in der 3-Sphäre $S^{3}$ ist homöomorph zu $S^{1}\times S^{1}\times \left(0,1\right)$. Die Linkgruppe, also die Fundamentalgruppe des Komplements, ist isomorph zu $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$, der freien abelschen Gruppe mit zwei Erzeugern.

Invarianten

Das Jones-Polynom ist

$V(t)=-t-t^{-1}$,

das HOMFLY-Polynom ist

$P(z,\alpha )=z^{-1}(\alpha ^{-1}-\alpha ^{-3})-z\alpha ^{-1}$,

die Hopf-Verschlingung ist der $(2,2)$-Torus-Link und sie ist der Abschluss des Zopfes $\sigma _{1}^{2}$.

Hopf-Faserung und Homotopiegruppen, Hopf-Invariante

Heinz Hopf untersuchte 1931 die Hopf-Faserung

$h\colon S^{3}\to S^{2}$

und stellte fest, dass je zwei Fasern eine Hopf-Verschlingung bilden.

Allgemein definierte er für Abbildungen $f\colon S^{3}\to S^{2}$ die heute als Hopf-Invariante bezeichnete Invariante $H(f)\in \mathbb {Z}$ als Verschlingungszahl der Urbilder zweier regulärer Werte von $f$ und er bewies, dass die Zuordnung

Shingon-shu Buzan-ha crest

$f\to H(f)$

einen Isomorphismus

$\pi _{3}(S^{2})\to \mathbb {Z}$

ergibt.

Vorkommen in Kunst, Wissenschaft und Philosophie

Catenane

• Die Hopf-Verschlingung wird von der dem Shingon-shū zuzuordnenden buddhistischen Sekte Buzan-ha als Symbol verwendet.
• Catenane stellen eine Hopf-Verschlingung dar.
• Die Hopf-Verschlingung kommt in zahlreichen Skulpturen des japanischen Künstlers Keizo Ushio vor.

Literatur

• Heinz Hopf: Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche. Math. Ann. 104 (1931), 637–665 (PDF)
• Colin Adams: Das Knotenbuch. Spektrum Akademischer Verlag (1995). ISBN 978-3860253380

Weblinks

Commons: Hopf links – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Hopf Link auf MathWorld
• Topology of a Twisted Torus Numberphile (Video)