Hermitesches Polynom

mathematische Funktion

Die Hermiteschen Polynome (nach Charles Hermite) sind Polynome mit folgenden äquivalenten Darstellungen:

Plots der ersten fünf Hermiteschen Polynome Hn

bzw.

Die Hermiteschen Polynome (mit einem festen ) sind Lösungen der Hermiteschen Differentialgleichung, einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung:

Explizite DarstellungBearbeiten

Aus der ersten Darstellung erhält man mit der Formel von Faà di Bruno die explizite Darstellung

 

also

 
 
 
 
 

Hermitesche Polynome lassen sich durch folgende Rekursionsformeln berechnen  :

 
 

Da bei jedem Iterationsschritt ein   hinzumultipliziert wird, sieht man schnell, dass   ein Polynom von Grade   ist. Der Koeffizient der höchsten Potenz   ist  . Für gerade   treten ausschließlich gerade Potenzen von   auf, entsprechend für ungerade   nur ungerade Potenzen, was sich mathematisch durch die Identität

 

ausdrücken lässt.

Die rekursive Darstellung der o. g. Hermiteschen Polynome lässt sich durch die einfache Substitution   auch wie folgt schreiben:

 

Pascal-QuelltextBearbeiten

Mit Hilfe der bekannten Anfangsbedingungen   und   lassen sich die Funktionswerte mit folgender rekursiver Pascal-Funktion leicht berechnen:

 Function Hermite(n:Byte;x:Extended):Extended;
   Function Go(m:Byte; p,q:Extended): Extended;
   Begin
     If n=m Then Go := p
            Else Go := Go(m+1, q, 2*x*q - 2*(m+1)*p)
   End;
 Begin
   Hermite := Go(0, 1, 2*x)
 End;

Die allgemeinere Ableitungsformel   lässt sich wie folgt umsetzen:

 Function HermiteAbleitung(n,m:Byte;x:Extended):Extended;
 Begin
  If m=0 Then HermiteAbleitung:=Hermite(n,x)
         Else
   If n<m Then HermiteAbleitung:=0
          Else If m=1 Then HermiteAbleitung:=2*n*Hermite(n-1,x)
                      Else HermiteAbleitung:=2*n*HermiteAbleitung(n-1,m-1,x)
 End;

OrthogonalitätBearbeiten

Die Hermiteschen Polynome erfüllen bezüglich der Gewichtsfunktion   die Orthogonalitätsrelation

 

Das heißt, dass bestimmte reelle Funktionen nach den Hermiteschen Polynomen in eine Reihe entwickelt werden können.

Andere Darstellung der Hermiteschen PolynomeBearbeiten

 
Plots der ersten fünf hermiteschen Polynome Hen (Physiker Konvention)

Eine andere Definitionsmöglichkeit der Hermiteschen Polynome (Physiker-Konvention) ist

 

Sie sind bezüglich der Gewichtsfunktion   orthogonal

 

und erfüllen die Differentialgleichung

 

Sie lassen sich rekursiv durch

 

bestimmen.

Binomischer LehrsatzBearbeiten

Für die Hermiteschen Polynome gilt eine Formel, die eine ähnliche Gestalt hat wie der binomische Lehrsatz. Für   ist

 

Index mit negativem WertBearbeiten

Die Ableitung der komplementären Fehlerfunktion   ist

 .

Damit kann die Darstellung der Hermiteschen Polynome auch folgendermaßen geschrieben werden:[1]

 ,

sodass man für   findet:

 .

Die Funktionen höherer Indizes berechnen sich als:

  oder rekursiv   mit  .

Die so erhaltenen Funktionen genügen wie die Polynome mit positivem Index der hermiteschen Differentialgleichung.

Sie lauten:

 
 
 
 

AnwendungenBearbeiten

Ihre Bedeutung erhalten die Hermite-Polynome durch ihre vielseitige Anwendbarkeit in der Physik. Zum Beispiel werden sie zur Konstruktion der orthonormierten Lösungsfunktionen des quantenmechanischen harmonischen Oszillators benötigt. Diese entsprechen den Hermiteschen Funktionen, die man durch Multiplikation mit der gaußschen Normalverteilung und geeigneter Normierung erhält.

Eine weitere Anwendung finden sie in der Finite-Elemente-Methode als Formfunktionen.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte der nicht-zentralen Studentschen t-Verteilung lässt sich ausdrücken mittels Hermitescher Polynomfunktionen, deren Index negative Werte hat.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Eric W. Weisstein: Hermite Polynomial. In: MathWorld (englisch).