In der Mathematik bezeichnet die Gromov-Hausdorff-Metrik, benannt nach den Mathematikern Michail Leonidowitsch Gromow und Felix Hausdorff, eine Metrik auf der Klasse der Isometrieklassen von kompakten metrischen Räumen. Anschaulich ist der Gromov-Hausdorff-Abstand umso geringer, je besser sich die gegebenen Räume miteinander in Deckung bringen lassen.

Die Konvergenz bezüglich der Gromov-Hausdorff-Metrik heißt Gromov-Hausdorff-Konvergenz.

Definition

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Der Gromov-Hausdorff-Abstand ist der kleinstmögliche Hausdorff-Abstand, den die gegebenen Räume bei einer Einbettung in einen metrischen Raum haben können. Seien also   kompakte metrische Räume. Dann ist der Gromov-Hausdorff-Abstand   definiert als:

 

wobei

  den Hausdorff-Abstand von   und   in   bezeichnet.

Dieser ist definiert als:

 

Der Grenzwert einer im Sinne der Gromov-Hausdorff-Metrik konvergenten Folge wird als Gromov-Hausdorff-Grenzwert der Folge bezeichnet, man spricht in diesem Fall von Gromov-Hausdorff-Konvergenz.

Punktierte Gromov-Hausdorff-Konvergenz

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Die punktierte Gromov-Hausdorff-Konvergenz ist das angemessene Analogon zur Gromov-Hausdorff-Konvergenz, wenn man nicht-kompakte metrische Räume betrachtet.

Ist   eine Folge lokalkompakter vollständiger metrischer Räume, deren Metrik intrinsisch ist, so heißt diese gegen   konvergent, wenn für jedes   die abgeschlossenen  -Bälle um   im Gromov-Hausdorff-Sinne gegen den abgeschlossenen  -Ball um   konvergieren.

Gromov-Hausdorff-Konvergenz von Mannigfaltigkeiten

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Der Grenzwert einer Gromov-Hausdorff-konvergenten Folge  -dimensionaler Riemannscher Mannigfaltigkeiten   muss im Allgemeinen keine Mannigfaltigkeit sein.

Falls die Mannigfaltigkeiten gleichmäßig nach unten beschränkte Krümmung und gleichmäßig nach oben beschränkten Durchmesser haben, folgt aber aus einem Satz von Gromov, dass der Grenzwert ein Alexandrov-Raum mit denselben Krümmungs- und Durchmesserschranken und der Dimension kleiner oder gleich   ist.

Falls (unter der Voraussetzung gleichmäßig nach unten beschränkter Krümmung) der Grenzwert   eine  -dimensionale Mannigfaltigkeit ist, dann müssen fast alle   zu   homöomorph gewesen sein – das ist der Perelman'sche Stabilitätssatz.

Allgemeiner, falls (wieder unter der Voraussetzung gleichmäßig nach unten beschränkter Krümmung) der Grenzwert eine Riemannsche Mannigfaltigkeit   beliebiger Dimension ist, dann müssen fast alle   Faserbündel über   gewesen sein (Fukaya-Yamaguchi, V.Kapovitch-Wilking).

Literatur

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  • M. Gromov. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces, Birkhäuser (1999). ISBN 0-8176-3898-9.