Gleichverteilung modulo 1

Die Theorie der Gleichverteilung modulo 1 beschäftigt sich mit dem Verteilungsverhalten von Folgen reeller Zahlen. Eine Folge heißt gleichverteilt modulo 1, wenn die relative Anzahl an Folgengliedern in einem Intervall gegen die Länge dieses Intervalls konvergiert.

DefinitionBearbeiten

Sei   eine Folge reeller Zahlen. Zu Zahlen   mit   bezeichne   die Anzahl jener Folgenglieder mit Index kleiner oder gleich  , deren Bruchteil im Intervall   liegt. In mathematischer Schreibweise:

 .

Unter dem Bruchteil   einer Zahl   versteht man dabei die Zahl selbst minus die nächstkleinere ganze Zahl (Beispielsweise ist der Bruchteil  , und der Bruchteil  ). Der Bruchteil einer Zahl liegt immer im Intervall  .

Die Folge   heißt nun gleichverteilt modulo 1, wenn für jedes Intervall   die relative Anzahl der Folgenglieder in diesem Intervall gegen die Länge des Intervalls strebt. In mathematischer Schreibweise:   heißt gleichverteilt modulo 1 genau dann, wenn

     für alle Zahlen   mit   gilt.

Anschaulich gesprochen bedeutet dies, dass die Folge   im Intervall   gleichmäßig verteilt ist (daher auch die Bezeichnung „gleichverteilt modulo 1“).

EigenschaftenBearbeiten

Ein wichtiges Kriterium, um zu überprüfen, ob eine Folge   gleichverteilt modulo 1 ist oder nicht, ist das Weylsche Kriterium, erstmals bewiesen von Hermann Weyl im Jahr 1916. Eine Folge   ist gleichverteilt modulo 1 genau dann, wenn

      für alle   gilt.

Der Beweis basiert darauf, dass die in der Definition der Gleichverteilung modulo 1 auftretenden Indikatorfunktionen durch stetige Funktionen, und diese laut dem Approximationssatz von Weierstraß durch trigonometrische Polynome beliebig genau approximiert werden können.

BeispieleBearbeiten

Folgende Folgen sind gleichverteilt modulo 1:

  •      genau dann, wenn   irrational ist.
  •      für  
  •      wobei   ein nichtkonstantes Polynom bezeichnet, das mindestens einen irrationalen Koeffizienten besitzt.
  •     genau dann, wenn   eine normale Zahl zur Basis 2 ist.

Da die Folge   für irrationales   gleichverteilt modulo 1 ist, müssen in jedem Intervall   laut Definition asymptotisch etwa   Elemente der Folge liegen. Insbesondere muss daher jedes Intervall unendlich viele Elemente der Folge enthalten: die Folge   ist daher dicht im Intervall  . Das ist der sogenannte Approximationssatz von Kronecker, wodurch ein Zusammenhang zwischen Gleichverteilung modulo 1 und diophantischer Approximation (siehe Dirichletscher Approximationssatz) angedeutet wird.

LiteraturBearbeiten

  • Edmund Hlawka: Theorie der Gleichverteilung. B.I.-Wissenschaftsverlag, 1979. ISBN 3-411-01565-9
  • Lauwerens Kuipers und Harald Niederreiter: Uniform distribution of sequences. Dover Publications, 2002. ISBN 0-486-45019-8