Gebrochene Brownsche Bewegung

Die gebrochene Brownsche Bewegung oder auch fraktionale Brownsche Bewegung ist eine Klasse von zentrierten Gauß-Prozessen $(X^{H}(t))_{t\geq 0}$, welche durch die folgende Kovarianzfunktion charakterisiert sind:

Simulierte Pfade einer gebrochenen Brownschen Bewegung mit H=0.15 (links) und H=0.95 (rechts).

$E[X^{H}(t)X^{H}(s)]={\frac {1}{2}}(t^{2H}+s^{2H}-|t-s|^{2H}),$

wobei H eine reelle Zahl in (0, 1) ist. H wird häufig der Hurst-Parameter genannt. Für H=1/2 ist die gebrochene Brownsche Bewegung eine eindimensionale Brownsche Bewegung.

Eigenschaften

Selbstähnlichkeit

$X^{H}$ ist selbstähnlich. Genauer gilt, dass die Prozesse $(X^{H}(ct))_{t\geq 0}$ und $(c^{H}X^{H}(t))_{t\geq 0}$ für jedes feste c > 0 dieselbe Verteilung besitzen.

Stationäre Inkremente

Aus der Darstellung der Kovarianzfunktion folgt direkt die Beziehung

$E[(X^{H}(t)-X^{H}(s))^{2}]=|t-s|^{2H},\quad t,s\geq 0.$

Insbesondere sind die Inkremente also stationär. Außerdem gilt:

• falls H = 1/2, so hat der Prozess unabhängige Inkremente;
• falls H > 1/2, so sind die Inkremente positiv korreliert;
• falls H < 1/2, so sind die Inkremente negativ korreliert.

Pfadeigenschaften

Die Pfade der gebrochenen Brownschen Bewegung mit Hurst-Parameter H sind Hölder-stetig mit Index $\alpha$ für jedes $\alpha <H$.

Stochastische Integration

Es ist möglich, stochastische Integrale bezüglich der gebrochenen Brownschen Bewegung zu definieren.

Siehe auch

• Anomale Diffusion

Weblinks

• Vorlesungsvideo über die gebrochene Brownsche Bewegung (englisch)

Quellen

• Francesca Biagini, Yaozhong Hu, Bernt Øksendal, Tusheng Zhang: Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion. Springer, London 2010, ISBN 1-84996-994-9 (Softcover reprint of hardcover 1st ed. 2008).