Gebrochene Brownsche Bewegung

Klasse von zentrierten Gauß-Prozessen

Die gebrochene Brownsche Bewegung oder auch fraktionale Brownsche Bewegung ist eine Klasse von zentrierten Gauß-Prozessen , welche durch die folgende Kovarianzfunktion charakterisiert sind:

wobei H eine reelle Zahl in (0, 1) ist. H wird häufig der Hurst-Parameter genannt. Für H=1/2 ist die gebrochene Brownsche Bewegung eine eindimensionale Brownsche Bewegung.

EigenschaftenBearbeiten

SelbstähnlichkeitBearbeiten

  ist selbstähnlich. Genauer gilt, dass die Prozesse   und   für jedes feste c >0 dieselbe Verteilung besitzen.

Stationäre InkrementeBearbeiten

Aus der Darstellung der Kovarianzfunktion folgt direkt die Beziehung

 

Insbesondere sind die Inkremente also stationär. Außerdem gilt:

  • falls H = 1/2, so hat der Prozess unabhängige Inkremente;
  • falls H > 1/2, so sind die Inkremente positiv korreliert;
  • falls H < 1/2, so sind die Inkremente negativ korreliert.

PfadeigenschaftenBearbeiten

Die Pfade der gebrochenen Brownschen Bewegung mit Hurst-Parameter H sind Hölder-stetig mit Index   für jedes  .

Stochastische IntegrationBearbeiten

Es ist möglich, stochastische Integrale bezüglich der gebrochenen Brownschen Bewegung zu definieren.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

QuellenBearbeiten

  • Francesca Biagini, Yaozhong Hu, Bernt Øksendal, Tusheng Zhang: Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion. Springer, London 2010, ISBN 1-84996-994-9 (Softcover reprint of hardcover 1st ed. 2008).