Die fast gleichmäßige Konvergenz ist ein Konvergenzbegriff der Maßtheorie für Funktionenfolgen, der auf der gleichmäßigen Konvergenz aufbaut. Die fast gleichmäßige Konvergenz wurde von Hermann Weyl erstmals eingeführt, damals noch unter dem Namen wesentlich-gleichmäßige Konvergenz. Die fast gleichmäßige Konvergenz sollte nicht mit der gleichmäßigen Konvergenz μ-fast überall verwechselt werden, diese entspricht der Konvergenz im und ist ein stärkerer Konvergenzbegriff.

Definition

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Gegeben sei ein Maßraum   und messbare Funktionen  , wobei   oder   ist. Dann heißt die Funktionenfolge   fast gleichmäßig konvergent, wenn für jedes   ein   existiert, so dass   ist und die Funktionenfolge auf dem Komplement von   gleichmäßig konvergiert. Es gilt also

 

Beziehung zu anderen Konvergenzbegriffen

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Gleichmäßige Konvergenz μ-fast überall

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Aus der gleichmäßigen Konvergenz μ-fast überall folgt direkt die fast gleichmäßige Konvergenz. Denn konvergiert die Funktionenfolge gleichmäßig auf dem Komplement einer Nullmenge  , so ist   für alle  , daraus folgt direkt die Behauptung. Die Umkehrung gilt jedoch im Allgemeinen nicht. Betrachtet man beispielsweise den Maßraum   und die Funktionenfolge  , so konvergiert diese Folge für beliebiges kleines   auf den Intervall   gleichmäßig gegen 0 und damit auch fast gleichmäßig gegen 0 auf den Intervall  . Jedoch ist die Funktionenfolge nicht μ-fast überall gleichmäßig konvergent.

Punktweise Konvergenz μ-fast überall

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Aus der fast gleichmäßigen Konvergenz folgt die punktweise Konvergenz μ-fast überall. Denn per Definition gibt es für jede Nullfolge   eine Menge  , so dass   und dass   auf   gleichmäßig konvergiert. Dann ist aber   eine Nullmenge und die Funktionenfolge   konvergiert punktweise gegen die Funktion

 

und somit auch punktweise fast überall.

Im Falle eines endlichen Maßraumes liefert der Satz von Jegorow auch die Umkehrung, also dass aus der punktweisen Konvergenz μ-fast überall die fast gleichmäßige Konvergenz folgert. Somit fallen für endliche Maßräume die punktweise Konvergenz fast überall und die fast gleichmäßige Konvergenz zusammen. Das folgende Beispiel zeigt, dass der Schluss von der punktweisen Konvergenz fast überall zur fast gleichmäßigen Konvergenz bei nicht endlichen Maßräumen im Allgemeinen falsch ist. Betrachtet man die Funktionenfolge

 

auf dem Maßraum  , so konvergiert diese Funktionenfolge punktweise fast überall gegen 0, denn für beliebiges   ist für   immer

 .

Aber die Folge konvergiert nicht fast gleichmäßig gegen 0, denn es ist für   mit   immer   und somit

 

für alle   mit  . Also kann keine fast gleichmäßige Konvergenz vorliegen.

Konvergenz nach Maß und lokal nach Maß

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Aus der fast gleichmäßigen Konvergenz folgt automatisch die Konvergenz nach Maß. Denn nach Definition entspricht die fast gleichmäßige Konvergenz der gleichmäßigen Konvergenz auf dem Komplement einer Menge   mit   für beliebiges  . Folglich existiert ein Index  , so dass   für alle  . Also ist   für beliebiges   und somit konvergiert die Folge nach Maß.

Umgekehrt folgt aber aus der Konvergenz nach Maß im Allgemeinen nicht die fast gleichmäßige Konvergenz. Betrachtet man beispielsweise die Folge von Intervallen

 

und definiert auf   die Funktionenfolge

 ,

so konvergiert diese Folge nach Maß gegen 0, da eine Abweichung der Funktionenfolge von der 0 immer nur auf den Intervallen möglich ist. Die Breite der Intervalle und damit das Maß der Mengen, auf denen die Funktionenfolge von der 0 abweicht konvergieren aber gegen 0. Die Folge konvergiert aber nicht fast gleichmäßig, da für   mit   gilt, dass

 .

Da aber das   fest gewählt ist und die   beständig "wandern", oszilliert die Folge und kann somit nicht fast gleichmäßig konvergieren.

Da aus der Konvergenz nach Maß direkt die Konvergenz lokal nach Maß folgt, impliziert die fast gleichmäßige Konvergenz auch die Konvergenz lokal nach Maß, der Umkehrschluss ist aber im Allgemeinen auch ungültig.

Allgemeine Formulierung

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Die fast gleichmäßige Konvergenz lässt sich analog für Funktionen mit Werten in einem metrischen Raum   definieren. Eine Funktionenfolge heißt dann fast gleichmäßig konvergent, wenn zu jedem   eine Menge   mit   existiert, so dass

 

gilt.

Literatur

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