Konvergenz nach Maß

Die Konvergenz nach Maß, auch Konvergenz dem Maße nach oder Konvergenz im Maß genannt, ist ein Konvergenzbegriff der Maßtheorie für Funktionenfolgen. Das wahrscheinlichkeitstheoretische Pendant dieser Konvergenzart wird auch Konvergenz in Wahrscheinlichkeit oder stochastische Konvergenz genannt, teils wird dort aber auch die Definition der Konvergenz lokal nach Maß verwendet.

DefinitionBearbeiten

Gegeben sei ein Maßraum   und   messbare Funktionen. Dann heißt die Funktionenfolge   konvergent nach Maß oder konvergent dem Maße nach gegen  , wenn für alle   gilt, dass

 

ist. Man schreibt dann  

Beziehung zu anderen KonvergenzartenBearbeiten

Konvergenz im p-ten MittelBearbeiten

Aus der Konvergenz im p-ten Mittel folgt die Konvergenz nach Maß mithilfe der Tschebyscheffschen Ungleichung, denn es ist

 .

Nach dem Konvergenzsatz von Vitali ist die Konvergenz im p-ten Mittel äquivalent zur Konvergenz nach Maß und der gleichgradigen Integrierbarkeit im p-ten Mittel. Auf die gleichgradige Integrierbarkeit kann dabei nicht verzichtet werden, wie das folgende Beispiel verdeutlicht. Setzt man   und definiert die Funktionenfolge

 .

auf dem Maßraum  , so konvergiert diese nach Maß gegen 0, denn für   ist

 .

Aber sie ist nicht gleichgradig integrierbar (im ersten Mittel), denn es ist

 

Dem Konvergenzsatz von Vitali folgend ist sie auch nicht (im ersten Mittel) konvergent gegen 0, denn es ist

 .

Ebenso wenig kann auf die Konvergenz nach Maß verzichtet werden, denn wählt man   und den Maßraum  , so ist die Funktionenfolge, die durch

 .

definiert wird gleichgradig integrierbar im ersten Mittel, da sie von der integrierbaren Funktion, die konstant 1 ist, majorisiert wird. Aufgrund ihres oszillierenden Verhaltens kann die Folge aber nicht nach Maß konvergieren, denn für die Grundmenge und   gibt es keine Funktion  , so dass   klein wird. Mit einem analogen Argument folgt dann auch, dass die Funktionenfolge nicht im ersten Mittel konvergiert.

Fast gleichmäßige KonvergenzBearbeiten

Aus der fast gleichmäßigen Konvergenz folgt automatisch die Konvergenz nach Maß. Denn nach Definition entspricht die fast gleichmäßige Konvergenz der gleichmäßigen Konvergenz auf dem Komplement einer Menge   mit   für beliebiges  . Folglich existiert ein Index  , so dass   für alle  . Also ist   für beliebiges   und somit konvergiert die Folge nach Maß.

Umgekehrt folgt aber aus der Konvergenz nach Maß im Allgemeinen nicht die fast gleichmäßige Konvergenz. Betrachtet man beispielsweise die Folge von Intervallen

 

und definiert auf   die Funktionenfolge

 ,

so konvergiert diese Folge nach Maß gegen 0, da eine Abweichung der Funktionenfolge von der 0 immer nur auf den Intervallen möglich ist. Die Breite der Intervalle und damit das Maß der Mengen, auf denen die Funktionenfolge von der 0 abweicht konvergieren aber gegen 0. Die Folge konvergiert aber nicht fast gleichmäßig, da für   mit   gilt, dass

 .

Da aber das   fest gewählt ist und die   beständig "wandern", oszilliert die Folge und kann somit nicht fast gleichmäßig konvergieren.

Punktweise Konvergenz μ-fast überallBearbeiten

Aus der punktweise Konvergenz μ-fast überall folgt bei endlichen Maßräumen die Konvergenz nach Maß. Dabei folgt der Schluss dem Satz von Jegorow, dass aus der Konvergenz μ-fast überall (im endlichen Fall) die fast gleichmäßige Konvergenz folgt, aus dieser folgt wiederum die Konvergenz nach Maß.

Auf die Endlichkeit des Maßraumes kann dabei nicht verzichtet werden, wie die (weiter unten genauer untersuchte) Funktionenfolge   auf   zeigt. Sie konvergiert punktweise gegen 0, aber nicht nach Maß.

Die Umkehrung gilt aber nicht, es folgt also aus der Konvergenz nach Maß nicht die Konvergenz fast überall. Ein Beispiel lässt sich wie folgt konstruieren: Man betrachtet die Intervalle

 ,

nummeriert diese mit den natürlichen Zahlen durch und nennt diese Folge  . Dann konvergiert die Funktionenfolge  

auf dem Maßraum   nach Maß gegen 0, denn für   ist  . Aber die Funktionenfolge konvergiert nicht punktweise fast überall gegen 0, denn ein beliebiges   ist in unendlich vielen   enthalten und ebenso in unendlich vielen   nicht enthalten. Somit nimmt   an jeder Stelle unendlich oft die Werte 0 und 1 an, kann also nicht punktweise konvergieren.

Konvergenz lokal nach MaßBearbeiten

Die Konvergenz nach Maß impliziert die Konvergenz lokal nach Maß. Denn wird das Maß der Menge   auf der Grundmenge   beliebig klein, so wird es auch auf dem Schnitt mit jeder Menge endlichen Maßes beliebig klein.

Die Umkehrung gilt jedoch im Allgemeinen nicht. So konvergiert die Funktionenfolge

 

auf dem Maßraum   lokal nach Maß gegen 0, aber nicht nach Maß. Denn für   ist

 

für alle  . Also konvergiert die Funktionenfolge nicht nach Maß gegen die 0. Betrachtet man nun aber ein   mit   und definiert  , so sind die   disjunkt und es gilt

 .

Somit ist  , da ansonsten die Reihe divergieren würde. Daraus folgt dann

 

Somit konvergiert die Funktionenfolge lokal nach Maß gegen die 0.

Auf endlichen Maßräumen folgt aus Konvergenz lokal nach Maß auch die Konvergenz nach Maß, beide Konvergenzbegriffe sind also äquivalent. Dies folgt direkt daraus, dass die Grundmenge bereits endliches Maß besitzt. Da die Funktionenfolge lokal nach Maß konvergiert, konvergiert sie demnach auch auf der Grundmenge und somit auch nach Maß.

Schwache Konvergenz von MaßenBearbeiten

Aus der Konvergenz nach Maß einer Funktionenfolge lässt sich unter Umständen auf die schwache Konvergenz der Folge von Bildmaßen schließen.

Ist ein Maßraum   gegeben, ist   ein endliches Maß und konvergiert die Funktionenfolge   nach Maß gegen  , so konvergiert die Folge von Bildmaßen   schwach gegen  .

Die Bildmaße sind dann Maße auf  . Allgemeiner lässt sich diese Aussage auch für Funktionenfolgen mit Werten in separablen metrischen Räumen zeigen.

Allgemeinere FormulierungBearbeiten

Die Konvergenz nach Maß lässt sich auch allgemeiner für Funktionen mit Werten in metrischen Räumen   definieren. Dafür ersetzt man den Term   durch  . Hierbei muss jedoch darauf geachtet werden, dass die Mengen   messbar sind, da ansonsten der Ausdruck in der Definition nicht wohldefiniert ist. Die Messbarkeit dieser Mengen ist beispielsweise garantiert, wenn   ein separabler metrischer Raum und   die zugehörige Borelsche σ-Algebra ist und man als Messraum   wählt.

LiteraturBearbeiten